2020届高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 第一编 讲方法 第2讲 数形结合思想课件 文

第2讲数形结合思想第一编讲方法「思想方法解读」数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化．数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题．1热点题型探究PARTONE热点1数形结合化解方程问例1(1)(2019·聊城市高三一模)已知函数f(x)＝xx－1，x≤0，lnxx，x＞0，若关于x的方程f(x)＝x＋a无实根，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0)∪1e，1B．(－1,0)C.0，1eD．(0,1)答案B解析因为函数f(x)＝xx－1，x≤0，lnxx，x＞0，所以关于x的方程f(x)＝x＋a无实根等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a无交点，设直线y＝x＋a与f(x)＝lnxx(x0)切于点P(x0，y0)，由f′(x)＝1－lnxx2，由已知得1－lnx0x20＝1，解得x0＝1，则P(1,0)，则切线方程为y＝x－1，作出函数f(x)与直线y＝x＋a的图象如图所示．由图知函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a无交点时实数a的取值范围为－1a0，故选B.(2)已知函数f(x)＝2－x－1x≤0，fx－1x＞0，若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0]B．[0,1)C．(－∞，1)D．[0，＋∞)答案C解析函数f(x)＝2－x－1x≤0，fx－1x＞0的图象如图所示，当a1时，函数y＝f(x)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根．用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．1．(2019·天津市重点中学毕业班联考(一))已知函数f(x)＝x2＋4x，－3≤x≤0，2x－3，x＞0，若方程f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是()A.－23，3－22B.－23，3＋22C.－∞，－23D.－23，16答案A解析f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三个不相等的实数根，等价于y＝f(x)＋|x－2|与y＝kx的图象有三个交点，画出y＝f(x)＋|x－2|＝x2＋3x＋2，－3≤x≤0，x－1，0＜x≤2，3x－5，x＞2与y＝kx的图象如图，y＝kx与y＝x2＋3x＋2相切时，k＝3－22，y＝kx过(－3,2)时，k＝－23，∴根据图象可知，－23≤k3－22时，两函数图象有三个交点，∴若方程f(x)＋|x－2|－kx＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是－23，3－22，故选A.2．将函数f(x)＝sin4x＋π3的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)的图象，若g(x)＋k＝0在x∈0，π2上有且只有一个实数根，则k的取值范围是()A．k≤12B．－1≤k＜－12C．－12＜k≤12D．－12＜k≤12或k＝－1答案D解析将f(x)的图象向右平移π8个单位得到h(x)＝sin4x－π8＋π3＝sin4x－π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g(x)＝sin2x－π6.所以g(x)＋k＝0，即为方程sin2x－π6＋k＝0.令2x－π6＝t，因为x∈0，π2，所以－π6≤t≤5π6.若g(x)＋k＝0在x∈0，π2上有且只有一个实数根，即g(t)＝sint与y＝－k在－π6，5π6上有且只有一个交点.如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k＜12或－k＝1，即－12＜k≤12或k＝－1.热点2数形结合化解不等式问题例2(1)(2019·安徽省江南十校高三联考)已知x，y满足x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3，z＝xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2－kx＋1≥0对x∈[a，b]恒成立，则k的取值范围为()A．－2≤k≤2B．k≤2C．k≥－2D．k≤14572答案B解析作出x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然z＝xy的最小值为0，当点(x，y)在线段x＋2y＝3(0≤x≤1)上时，z＝xy＝x32－x2＝－12x2＋32x≤1；当点(x，y)在线段2x＋y＝3(0≤x≤1)上时，z＝xy＝x(3－2x)＝－2x2＋3x≤98；即a＝0，b＝98；当x＝0时，不等式x2－kx＋1＝1≥0恒成立，若x2－kx＋1≥0对x∈0，98恒成立，则k≤x＋1x在0，98上恒成立，又x＋1x在(0,1]上单调递减，在1，98上单调递增，即x＋1xmin＝2，即k≤2.(2)已知关于x的不等式x＞ax＋32的解集为{x|4＜x＜b}，则ab＝________.解析设f(x)＝x，g(x)＝ax＋32(x≥0)．答案92因为x＞ax＋32的解集为{x|4＜x＜b}，所以两函数图象在4＜x＜b上有f(x)＞g(x)，如图所示．当x＝4，x＝b时，由f(x)＝g(x)，可得4＝4a＋32，b＝ab＋32，解得a＝18，b＝36，所以ab＝18×36＝92.数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，利用图象的交点和图象的位置求解不等式．1．(2019·湖南三市高三联考)设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(x)0，且∀x1，x2∈R(x1≠x2)，f(x1)＋f(x2)2fx1＋x22，则下列选项中不一定正确的一项是()A．f(2)f(e)f(π)B．f′(π)f′(e)f′(2)C．f(2)f′(2)－f′(3)f(3)D．f′(3)f(3)－f(2)f′(2)答案C解析因为f′(x)0，所以f(x)在R上单调递增．∀x1，x2∈R(x1≠x2)，恒有f(x1)＋f(x2)2fx1＋x22，即fx1＋fx22fx1＋x22，所以y＝f(x)的图象是向上凸起的，如图所示．所以f(2)f(e)f(π)，故A正确；因为f′(x)反映了函数f(x)图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x的增大，f(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f′(π)f′(e)f′(2)，故B正确；因为f(3)－f(2)＝f3－f23－2，表示点A(2，f(2))与B(3，f(3))连线的斜率，由图可知f′(3)kABf′(2)，故D正确；C无法推出，故选C.2．∀x∈0，13，8x＜logax＋1恒成立，则实数a的取值范围是________．答案13≤a＜1解析当0＜x＜13时，函数y＝8x－1的图象如图中实线所示．∵∀x∈0，13，8x＜logax＋1恒成立，∴当x∈0，13时，y＝logax的图象恒在y＝8x－1的图象的上方(如图中虚线所示)．∵y＝logax的图象与y＝8x－1的图象交于点13，1时，a＝13，∴13≤a＜1.热点3数形结合化解平面向量问题例3(1)(2019·东北三省三校高三第二次模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，则()A.AD→＝213AC→＋913AB→B.AD→＝29AC→＋127AB→C.AD→＝313AC→＋613AB→D.AD→＝313AC→＋913AB→答案D解析设DF＝2AF＝2，因此BD＝AF＝1，又由题意可得∠ADB＝120°，所以AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝32＋12－6cos120°＝13，因此AB＝13；延长AD交BC于M，记∠DAB＝θ，∠AMB＝α，则cos∠DAB＝AD2＋AB2－BD22AD·AB＝9＋13－1613＝71326，所以sin∠DAB＝1－cos2∠DAB＝3926；又由题意易知∠DAB＝∠DBM，则α＝120°－θ，在三角形DBM中，由正弦定理可得BMsin∠MDB＝DMsin∠DBM＝BDsin∠DMB，即BMsin60°＝DMsinθ＝1sin120°－θ，因此BM＝sin60°sin120°－θ＝3232cosθ＋12sinθ＝134＝14BC，DM＝sinθsin120°－θ＝sinθ32cosθ＋12sinθ＝14，所以AD＝33＋14AM＝1213AM，因为BM＝14BC，所以BM→＝14BC→，即AM→－AB→＝14(AC→－AB→)，整理得AM→＝34AB→＋14AC→，所以AD→＝1213AM→＝121334AB→＋14AC→＝913AB→＋313AC→.故选D.(2)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为2π3.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB︵上运动．若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________，此时∠AOC＝________.答案2π3解析由图示和题意可知，A(1,0)，B－12，32.设∠AOC＝αα∈0，2π3，则C(cosα，sinα)．由OC→＝xOA→＋yOB→，得cosα＝x－12y，sinα＝32y，解得x＝cosα＋33sinα，y＝233sinα，所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6.又α∈0，2π3，所以当α＝π3时，x＋y取得最大值2.建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解．1．(2019·马鞍山市第二次教学质量监测)已知圆C1，C2，C3是同心圆，半径依次为1,2,3，过圆C1上点M作C1的切线交圆C2于A，B两点，P为圆C3上任一点，则PA→·PB→的取值范围为()A．[－8，－4]B．[0,12]C．[1,13]D．[4,16]答案C解析设同心圆的圆心为O，由切线性质可知OM⊥AB，又过圆C1上点M作C1的切线交圆C2于A，B两点，∴OA＝OB＝2，OM＝1，在Rt△OAM中，sin∠OAM＝OMOA＝12，∴∠OAB＝∠OAM＝π6，根据OA＝OB＝2，可知∠OAB＝∠OBA＝π6，∴∠AOB＝2π3，PA→·PB→＝(PO→＋OA→)·(PO→＋OB→)＝|PO→|2＋PO→·OB→＋OA→·PO→＋OA→·OB→＝9＋PO→·(OB→＋OA→)＋|OA→||OB→|·cos2π3＝7－OP→·(OB→＋O