2020届高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 第二编 讲专题 专题六 概率与统计 第2讲 概率课件 文

第2讲概率第二编讲专题专题六概率与统计「考情研析」1.互斥事件、对立事件的概率公式是每年高考的热点，既有单独命题，也有与其他概率知识综合命题．题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等．2.对古典概型的直接考查是每年高考的重点，题型为选择题、填空题，有时也与统计结合出现在解答题中，难度适中，属中档题．3.与长度、面积有关的几何概型是每年高考的重点，题型为选择题或填空题，难度较小，属于基础题.1核心知识回顾PARTONE1.互斥事件与对立事件(1)事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即(2)在一次试验中，对立事件A和A不会同时发生，但一定有一个发生，因此有□01P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．□02P(A)＝1－P(A)．2．古典概型(1)古典概型的概率公式P(A)＝.(2)古典概型的两个特点①；②□01A中所含的基本事件数基本事件总数□02试验中所有可能出现的基本事件只有有限个□03每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型(1)几何概型的概率公式P(A)＝.(2)几何概型应满足的两个条件①；②□01构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积□02试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个□03每个基本事件出现的可能性相等．2热点考向探究PARTTWO考向1互斥事件与对立事件例1(2019·咸阳市高三模拟检测(一))(1)某校高三(1)班50名学生参加1500m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C．从这50名学生中任意抽取1人，若抽得成绩是B的概率是0.4，则抽得成绩是C的概率是()A．0.14B．0.20C．0.40D．0.60答案A解析由于成绩是A的有23人，抽得成绩是B的概率是0.4，故抽到成绩是C的概率为1－2350－0.4＝0.14.(2)(2019·汉中市高三年级教学质量第二次检测)一次数学考试中，4位同学各自在选做题第22题和第23题中任选一题作答，则至少有1人选做第23题的概率为()A．516B．38C．78D．1516答案D解析记这4位同学选做第23题的事件分别为A，B，C，D，不选做第23题(即选做第22题)的事件分别为A－，B－，C－，D－.则这4位同学在第22题和第23题中任选一题作答，所以情况为：(A，B，C，D)，(A－，B，C，D)，(A，B－，C，D)，(A，B，C－，D)，(A，B，C，D－)，(A－，B－，C，D)，(A－，B，C－，D)，(A－，B，C，D－)，(A，B－，C－，D)，(A，B－，C，D－)，(A，B，C－，D－)，(A－，B－，C－，D)，(A－，B－，C，D－)，(A－，B，C－，D－)，(A，B－，C－，D－)，(A－，B－，C－，D－)，共16种，其中，都不选做第23题的为(A－，B－，C－，D－)，共1种，故都不选做第23题的概率为116，由对立事件的概率公式知，至少有1人选做第23题的概率为1－116＝1516.故选D．互斥事件、对立事件概率的求法(1)解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：①直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；②间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)求解，即运用正难则反的数学思想．特别是“至多”“至少”型问题，用间接法就显得较简便．1．如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．解析∵P(A)＋P(B)＝0.64，P(B)＝3P(A)，∴P(A)＝0.16.答案0.162．投掷一枚骰子，若事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A∪B发生的概率为________．解析由于事件总数为6，故P(A)＝26＝13，P(B)＝46＝23，从而P(B)＝1－P(B)＝13，又A与B互斥，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝13＋13＝23.答案23考向2古典概型例2某校有包括甲、乙两人在内的5名大学生自愿参加该校举行的A，B两场国际学术交流会的服务工作，这5名大学生中有2名被分配到A场交流会，另外3名被分配到B场交流会，如果分配方式是随机的，则甲、乙两人被分配到同一场交流会的概率为________．答案25解析记其余3名大学生分别为丙、丁、戊，则5名大学生分别被分配到A场交流会、B场交流会的所有基本事件有：①A(甲、乙)，余下的人分配到B场交流会，下同，②A(甲、丙)，③A(甲、丁)，④A(甲、戊)，⑤A(乙、丙)，⑥A(乙、丁)，⑦A(乙、戊)，⑧A(丙、丁)，⑨A(丙、戊)，⑩A(丁、戊)，共10个，其中甲、乙两人被分配到同一场交流会的基本事件是：①⑧⑨⑩，故所求概率为410＝25.定义法求解古典概型的关键定义法求解古典概型的关键是准确求解基本事件空间与所求事件包含的基本事件的个数，而求解事件个数的主要方法是列举法，列举时需注意两个方面：一是确定抽取是否有“序”；二是确定列举法写出所有基本事件的一个顺序.1．(2019·安徽江淮十校高三第三次联考)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵屏”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A．1125B．1225C．1325D．1425答案C解析甲、乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件有25种，“心有灵犀”的情况包括(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共13种，故他们“心有灵犀”的概率为1325.2．(2019·泸州市泸县第一中学高三三诊模拟)学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为()A．14B．12C．13D．34答案B解析记“科普之旅”和“红色之旅”两个研学旅行主题分别为A，B，则小芳和小敏的报名方法有(A，B)，(B，A)，(A，A)，(B，B)，共4种，其中两人选择的恰好是同一研学旅行主题的有(A，A)，(B，B)，共2种，因此所求概率为24＝12，选B．考向3几何概型例3(1)(2019·湖北省八市(黄石市、仙桃市…黄冈市高三联合考试)把不超过实数x的最大整数记为[x]，则函数f(x)＝[x]称作取整函数，又叫高斯函数，在[2,5]上任取x，则[x]＝[2x]的概率为()A．14B．13C．12D．23答案B解析当2≤x＜3时，[x]＝[2x]＝2；当3≤x＜4时，[x]＝3，[2x]＝2；当4≤x＜4.5时，[x]＝4，[2x]＝2；当4.5≤x＜5时，[x]＝4，[2x]＝3.符合条件的x∈[2,3)，由长度比可得，[x]＝[2x]的概率为3－25－2＝13.故选B．(2)(2019·太原市高三一模)在平面区域x＋y≤2，2x－y≥0，y≥0内任取一点P(x，y)，则存在α∈R，使得点P的坐标(x，y)满足(x－2)cosα＋ysinα－2＝0的概率为()A．1－3π16B．3π16C．43－π4D．1－π16答案A解析画出平面区域x＋y≤2，2x－y≥0，y≥0，图中△OBA边界及内部是所表示的平面区域，如图阴影部分所示：(x－2)cosα＋ysinα－2＝0⇒x－22＋y2sin(α＋φ)＝2⇒x－22＋y2≥2，它表示在已知平面区域内，圆心(2,0)，半径为2的圆外(包括圆周)，如图所示．解方程组x＋y＝2，2x－y＝0⇒x＝23，y＝43⇒B23，43，S△OAB＝12×OA×|yB|＝43，在已知平面区域内，圆心坐标为(2,0)，半径为2的圆内(包括圆周)的面积为S1，S1＝45×π×22360＝π4，所求的概率P＝S△OAB－S1S△OAB＝1－3π16，故选A．几何概型三种常见类型及判断方法(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型．关键是看事件的构成是否与体积有关．1．在区间－π6，π2上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，2]的概率是()A．12B．34C．38D．58答案B解析由sinx＋cosx＝2sinx＋π4∈[1，2]，得22≤sinx＋π4≤1，因为x∈－π6，π2，所以在区间－π6，π2内，满足sinx＋π4∈22，1的x∈0，π2，故要求的概率为π2－0π2－－π6＝34.故选B．2．(2019·云南昆明模拟)设实数x，y满足x2＋(y－1)2≤1，则x－y＋2≤0的概率为()A．14B．π4C．π－24πD．4π－24π答案C解析如图，直线x－y＋2＝0与圆x2＋(y－1)2＝1交于A(0,2)，B(－1，1)两点，则x－y＋2≤0的概率P＝S弓形S圆＝π·124－12×1×1π·12＝π－24π，故选C．3．在棱长为2的正方体内任取一点，则该点到正方体中心的距离不大于1的概率为________．解析正方体体积V1＝23＝8，满足要求的点构成的图形为球．体积V2＝4π3×13＝4π3，所以概率P＝V2V1＝4π3×8＝π6.答案π63真题VS押题PARTTHREE『真题模拟』1．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A．23B．35C．25D．15答案B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B．2.(2019·青岛市高三教学质量检测)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是()A．716B．916C．35D．12答案B解析由题图可知，黑色部分由9个小三角形组成，该图案可看作由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得P(A)＝9S小三角形16S小三角形＝916，故选B．3．(2019·赤峰市高三模拟)我们可以用随机数法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为784，则由此可估计π的近似值为()A．3.119B．3.1