2020届高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 第二编 讲专题 专题二 三角函数、解三角形与平面向量 第

第1讲三角函数的图象与性质第二编讲专题专题二三角函数、解三角形与平面向量「考情研析」1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.1核心知识回顾PARTONE1.同角关系式与诱导公式(1)同角三角函数的基本关系：，.(2)诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“”．□01sin2α＋cos2α＝1□02sinαcosα＝tanα□03奇变偶不变，符号看象限2．三种三角函数的性质3．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的步骤2热点考向探究PARTTWO考向1同角三角关系式、诱导公式例1(1)(2019·临川第一中学等九校高三3月联考)已知α∈(0，π)，且cosα＝－1517，则sinπ2＋αtan(π＋α)＝()A．－1517B.1517C．－817D.817答案D解析sinπ2＋αtan(π＋α)＝cosαtanα＝sinα，因为α∈(0，π)，且cosα＝－1517，所以sinα＝1－cos2α＝1－－15172＝817.故选D.(2)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－22C.22D．1解析因为sinα－cosα＝2，所以(sinα－cosα)2＝2，所以sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，即α＝3π4，故tanα＝－1.答案A(3)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα＝()A.355B.377C.31010D．－353答案C解析由已知可得，－2tanα＋3sinβ＋5＝0，①tanα－6sinβ－1＝0，②①×2＋②得tanα＝3.∵α为锐角，∴sinα＝31010.故选C.(1)利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)关于sinα，cosα的齐次式，往往转化为关于tanα的式子求解．1．(2019·内江市高三第三次模拟)已知α∈π2，π，sinα＝45，则tanα＋π4＝()A．7B.17C．－7D．－17答案D解析∵α∈π2，π，sinα＝45，∴cosα＝－35，∴tanα＝－43.∴tanα＋π4＝－43＋11－－43×1＝－17.故选D.2．已知sin2α＝34，则tanα＋1tanα等于()A.83B.103C.113D．4答案A解析由sin2α＝2sinαcosα＝34，可得sinαcosα＝38，所以tanα＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα＝83.故选A.3．如果f(tanx)＝sin2x－5sinxcosx，那么f(2)＝________.解析∵f(tanx)＝sin2x－5sinxcosx＝sin2x－5sinxcosxsin2x＋cos2x＝tan2x－5tanxtan2x＋1，∴f(x)＝x2－5xx2＋1，则f(2)＝－65.答案－65考向2三角函数的图象及应用例2(1)(2019·永州市高三第三次模拟)将函数f(x)＝sin2x＋3cos2x图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，所得函数的一个对称中心可以是()A.－π3，0B．(0,0)C.π6，0D.π3，0答案A解析f(x)＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3，将横坐标伸长到原来的2倍，所得函数为g(x)＝2sinx＋π3，令x＋π3＝kπ(k∈Z)⇒x＝kπ－π3(k∈Z)，则对称中心为kπ－π3，0，k∈Z，令k＝0，则其中一个对称中心为－π3，0.故选A.(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A0，ω0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为________．答案－5π12＋kπ，π12＋kπ，k∈Z解析由函数的图象可得A＝2，14T＝7π12－π3＝14·2πω，解得ω＝2.再根据五点作图法可知2×π3＋φ＝π，φ＝π3，所以f(x)＝2sin2x＋π3.由－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，可得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ(k∈Z)．1．解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法(1)A，B由最值确定，即A＝最大值－最小值2，B＝最大值＋最小值2.(2)ω由函数周期确定，相邻两对称轴(或两对称中心)之间的距离为T2，对称轴与相邻对称中心之间的距离为T4.(3)φ由图象上的特殊点确定，利用五点作图的五个特殊点直接确定．2．三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正负和它的平移要求．(3)看移动单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是φω.1．(2019·唐山市高三第二次模拟)已知函数f(x)＝sin2ωx－π3(ω0)的最小正周期为π，把f(x)的图象向左平移π3个单位后，所得函数图象的一条对称轴为()A．x＝0B．x＝π12C．x＝π8D．x＝π3答案B解析∵函数f(x)＝sin2ωx－π3(ω＞0)的最小正周期为2π2ω＝π，∴ω＝1，f(x)＝sin2x－π3.若将函数f(x)的图象向左平移π3个单位，可得y＝sin2x＋2π3－π3＝sin2x＋π3的图象，令2x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，求得x＝kπ2＋π12，令k＝0，可得所得函数图象的一条对称轴为x＝π12.故选B.2．(2019·丹东市高三总复习质量测试(一))设函数f(x)＝sinωx(ω0)，已知对于0，2π3内的任意x1，总存在0，2π3内的x2，使得f(x1)＋f(x2)＝0，则ω的()A．最大值为3B．最小值为3C．最大值为94D．最小值为94答案D解析因为要满足对任意的x1∈0，2π3，总存在x2∈0，2π3，使得f(x1)＋f(x2)＝0，对于f(x)＝sinωx(ω0)，则在0，2π3上的函数值有正值，即f(x1)可以有正值，要存在x2使得f(x1)＋f(x2)＝0，则f(x2)需要有负值．又f(x1)可以取到最大值1，要存在f(x2)，使得f(x1)＋f(x2)＝0，则f(x2)要可以取到最小值－1，说明f(x)在x0上取得第一个最小值的点应在2π3的左侧或者恰好落在2π3处，所以34T≤2π3，即34·2πω≤2π3，解得ω≥94.故选D.考向3三角函数的性质例3(1)(2019·天津九校高三联考)已知函数f(x)＝sinωx－3cosωx(ω0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于π2，若将函数y＝f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y＝g(x)的图象，则y＝g(x)是减函数的区间为()A.－π3，0B.0，π3C.－π4，π2D.π4，π3答案D解析f(x)＝sinωx－3cosωx＝2sinωx－π3，因为图象与x轴的两个相邻交点的距离等于T2＝π2，所以T＝π，ω＝2，所以f(x)＝2sin2x－π3.所以g(x)＝2sin2x＋π6－π3＝2sin2x.由π2＋2kπ≤2x≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得π4＋kπ≤x≤3π4＋kπ，所以y＝g(x)是减函数的区间为π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)．分析选项只有D符合．故选D.(2)若将函数y＝sin2x＋π6的图象向右平移m(m0)个单位长度后所得的图象关于直线x＝π4对称，则m的最小值为()A.π12B.π6C.π4D.π3答案B解析平移后所得的函数图象对应的解析式是y＝sin2x－m＋π6，如果该函数的图象关于直线x＝π4对称，则2π4－m＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，所以m＝－kπ2＋π6(k∈Z)，又m0，故当k＝0时，m最小，此时m＝π6.(3)已知函数f(x)＝|sinx|·cosx，则下列说法正确的是()A．f(x)的图象关于直线x＝π2对称B．f(x)的周期为πC．若|f(x1)|＝|f(x2)|，则x1＝x2＋2kπ(k∈Z)D．f(x)在区间π4，3π4上单调递减答案D解析因为f(x)＝|sinx|·cosx，所以函数f(x)在区间[0,2π]上的解析式为f(x)＝12sin2x，0≤x≤π，－12sin2x，πx≤2π，且f(x)是偶函数，画出f(x)的大致图象(图略)可知D选项正确．故选D.求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．①令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，可求得对称轴方程．②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A0，A0.1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0ω1，|φ|π)．若对任意x∈R，f(1)≤f(x)≤f(6)，则()A．f(1016)－f(1017)0B．f(1016)－f(1017)＝0C．f(1016)＋f(1017)0D．f(1016)＋f(1017)＝0答案A解析∵0ω1，∴函数f(x)的最小正周期T2π.∵对任意x∈R，f(1)≤f(x)≤f(6)，∴f(1)＝－1，f(6)＝1，函数f(x)在区间[1,6]上单调递增，∴T2＝6－1＝5，即T＝10.∴f(1016)＝f(6)，f(1017)＝f(7)．又∵函数f(x)的图象关于直线x＝6对称，∴f(1017)＝f(7)＝f(5)．∵函数f(x)在区间[1,6]上单调递增，∴f(5)f(6)，即f(1016)f(1017)，∴f(1016)－f(1017)0.故选A.2．(2019·宁夏银川高三下学期质检)将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向左平移π8个单位得到g(x)的图象，则g(x)在下列哪个区间上单调递减()A.－π2，0B.π16，9π16C.0，π2D.π2，π答案C解析将函数f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4的图象向左平移π8个单位得到g(x)＝2sin2x＋π8＋π4＝2sin2x＋π2＝2cos2x，在区间－π2，0上，则2x∈[－π，0]，g(x)单调递增，故A不满足条件；在区间π16，