2020届高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 第二编 讲专题 专题八 数学文化与创新应用 第1讲 数学

第1讲数学文化及核心素养类试题第二编讲专题专题八数学文化与创新应用「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.1核心知识回顾PARTONE1.以古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．2．与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．3．以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．4．以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．2热点考向探究PARTTWO考向1算法中的数学文化例1(2019·哈尔滨市第三中学高三第二次模拟)我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是()A．i20，S＝S－1i，i＝2iB．i≤20，S＝S－1i，i＝2iC．i20，S＝S2，i＝i＋1D．i≤20，S＝S2，i＝i＋1答案D解析根据题意可知，第一天S＝12，所以满足S＝S2，不满足S＝S－1i，故排除A，B；由框图可知，计算第二十天的剩余时，有S＝S2，且i＝21，所以循环条件应该是i≤20.故选D.以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律，理解程序框图的算法功能．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为()A．121B．81C．74D．49答案B解析满足a≤32，第一次循环：S＝1，n＝2，a＝8；满足a≤32，第二次循环：S＝9，n＝3，a＝16；满足a≤32，第三次循环：S＝25，n＝4，a＝24；满足a≤32，第四次循环：S＝49，n＝5，a＝32；满足a≤32，第五次循环：S＝81，n＝6，a＝40.不满足a≤32，输出S.故选B.考向2数列中的数学文化例2(2019·陕西省高三第三次教学质量检测)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n－1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前15项和为()A．110B．114C．124D．125答案B解析由题意，n次二项式系数对应的杨辉三角形的第n＋1行，令x＝1，可得二项展开式的二项式系数的和2n，其中第1行为20，第2行为21，第3行为22，…以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形中前n行的数字之和为Sn＝1－2n1－2＝2n－1，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则Tn＝nn＋12，令nn＋12＝15，解得n＝5，所以前15项的和表示前7行的数列之和减去所有的1，即(27－1)－13＝114，即前15项的数字之和为114，故选B.以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月(按30天计算)共织390尺布．记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14＋a15＋a16＋a17的值为()A．55B．52C．39D．26答案B解析设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，则S30＝390，所以30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629，所以a14＋a15＋a16＋a17＝4a1＋58d＝4×5＋58×1629＝52.故选B.考向3立体几何中的数学文化例3(2019·六安市第一中学高三模拟)我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________．答案4π解析因为S圆＝S环总成立，则半椭球体的体积为πb2a－13πb2a＝23πb2a，所以椭球体的体积为V＝43πb2a，因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3，所以椭球体的体积为V＝43πb2a＝43π×12×3＝4π，故答案是4π.依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的三视图、线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B－A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC－A1B1C1的体积为()A.83B.2C．2D．22解析由阳马的定义，知VB－A1ACC1＝13A1A·AC·BC＝23AC·BC≤13(AC2＋BC2)＝13AB2＝43，当且仅当AC＝BC＝2时等号成立，所以当阳马B－A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC－A1B1C1的体积为12×2×2×2＝2，故选C.答案C考向4概率中的数学文化例4(2019·皖南八校高三第三次联考)七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.516B.1132C.38D.1332答案A解析设正方形的边长为4，则正方形的面积为S＝4×4＝16，此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为22，下底边长为32，高为2，所以阴影部分的面积为S1＝12×(22＋32)×2＝5，根据几何概型，可得概率为P＝S1S＝516，故选A.数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．《算法统宗》是我国古代的数学名著，书中把三角形中的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田．若在邪田内随机种植一株茶树，则该茶树恰好被种在圭田内的概率为()A.215B.25C.415D.15答案A解析根据题意，得出其示意图如图所示，题意为：在直角梯形ABCD内随机种一株茶树，求该茶树恰好被种在三角形AEF内的概率．且已知AB＝20，DC＝10，AD＝10，AE＝8，三角形AEF的高h＝5，所以该茶树被种在三角形AEF内的概率P＝8×5×1220＋10×10×12＝215，故选A.考向5推理与证明中的数学文化例5(2019·南充市第三次诊断)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为()A.54钱B.43钱C.32钱D.53钱答案B解析设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，解得a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，∴a＝1，则a－2d＝a－2×－a6＝43a＝43，故选B.以古代有代表意义的猜想推理为背景，考查数学文化相关知识，让学生通过逻辑推理得到结论．解题时要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题．(2019·上海市奉贤区高三一模)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年．答案戊戌解析从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁酉年，61÷10＝6余1，则2078年的天干为戊，61÷12＝5余1，则2078年的地支为戌，所以2078年为戊戌年．考向6数学文化与现代科学例62016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1c2a2；④c1a2a1c2.其中正确式子的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案D解析观察题图可知a1a2，c1c2，∴a1＋c1a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c20，c1c20，知a1－c1c1a2－c2c2，即a1c1a2c2，从而c1a2a1c2，c1a1c2a2.即④式正确，③式不正确．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tanθ＋π4＝________.答案－7解析依题意，得大、小正方形的边长分别是5,