2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型2 解答题 规范踩点 多得分 第8讲 选修4系列 第

第8讲选修4系列第1课时坐标系与参数方程题型2解答题规范踩点多得分[考情分析]坐标系与参数方程是高考选考内容之一，要求考查：一是直线与圆的极坐标方程，以及极坐标与直角坐标的互化；二是直线、圆与圆锥曲线的参数方程，以及参数方程与普通方程的互化．1热点题型分析PARTONE热点1极坐标方程1．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r时，ρ＝r；(2)当圆心为M(a,0)，半径为a时，ρ＝2acosθ；(3)当圆心为Ma，π2，半径为a时，ρ＝2asinθ.2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)直线过点Mb，π2，且平行于极轴：ρsinθ＝b.(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在曲线C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知，得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上，所以l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.1．直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcosθ和y＝ρsinθ直接带入并化简即可．2．极坐标方程化为直角坐标时常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意变形过程的检验．(2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinπ6－θ＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．解因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以曲线C是以直角坐标(2,0)为圆心，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsinπ6－θ＝2，则直线l过A(4,0)(直角坐标)，倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝π6.连接OB，因为OA为直径，从而∠OBA＝π2，所以AB＝4cosπ6＝23.因此，直线l被曲线C截得的弦长为23.热点2参数方程1．直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即|t|＝|PP0|(t可正、可负、可零)．若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1－t2|；线段M1M2的中点M所对应的参数为t1＋t22.2．圆的参数方程圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ(θ为参数)．3．椭圆的参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的参数方程为x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)；椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)的参数方程为x＝bcosθ，y＝asinθ(θ为参数)．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于两点当且仅当21＋k21，解得k－1或k1，即α∈π4，π2或α∈π2，3π4.综上，α的取值范围是π4，3π4.(2)l的参数方程为x＝tcosα，y＝－2＋tsinαt为参数，π4α3π4.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝tA＋tB2，且tA，tB满足t2－22tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝22sinα，tP＝2sinα.又点P的坐标(x，y)满足x＝tPcosα，y＝－2＋tPsinα，所以点P的轨迹的参数方程是x＝22sin2α，y＝－22－22cos2αα为参数，π4α3π4.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有：(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法；(2)三角恒等消参法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆和椭圆的参数方程都是运用三角恒等消参法；(3)常见的消参关系式：t·1t＝1；t＋1t2－t－1t2＝4；2t1＋t22＋1－t21＋t22＝1.(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l距离的最小值．解(1)因为－11－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t21＋t22＝1，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)，直线l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设曲线C的参数方程为x＝cosα，y＝2sinα(α为参数，－παπ)．曲线C上的点到直线l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故曲线C上的点到直线l距离的最小值为7.热点3极坐标与参数方程的综合应用解决极坐标与参数方程的综合应用问题的一般思路：(1)在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．转化时要注意两坐标系的关系，注意ρ，θ的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同；(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．解(1)C1的普通方程为x23＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2sinα＋π3－2.当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为32，12.解决极坐标、参数方程的综合问题时应注意下面三点：(1)在对于参数方程或极坐标方程的应用不够熟练的情况下，可以先化成普通方程或直角坐标方程，这样思路可能更加清晰；(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．如利用直线参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题；利用圆或椭圆参数方程中的参数，转化为三角函数处理有关最值的问题；(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件和隐含条件．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线l的参数方程为x＝tcosφ，y＝2＋tsinφ(t为参数，0≤φπ)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．解(1)由x＝tcosφ，y＝2＋tsinφ，消去t，得xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0，所以直线l的普通方程为xsinφ－ycosφ＋2cosφ＝0.由ρcos2θ＝8sinθ，得(ρcosθ)2＝8ρsinθ，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式，得x2＝8y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＝8y.(2)将直线l的参数方程代入x2＝8y，得t2cos2φ－8tsinφ－16＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8sinφcos2φ，t1t2＝－16cos2φ，所以|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝64sin2φcos4φ＋64cos2φ＝8cos2φ.当φ＝0时，|AB|的最小值为8.2专题作业PARTTWO1．(2019·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R)，θ＝2π3(ρ∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求△OMN的面积．解(1)由曲线C的参数方程x＝2cosθ，y＝2sinθ＋2(θ为参数)，得C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，所以曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.(2)不妨设直线l1：θ＝π6(ρ∈R)与曲线C的交点为O，M，则ρM＝|OM|＝4sinπ6＝2.又直线l2：θ＝2π3(ρ∈R)与曲线C的交点为O，N，则ρN＝|ON|＝4sin2π3＝23.又∠MON＝π2，所以S△OMN＝12|OM||ON|＝12×2×23＝23.2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．解(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，所以x1＋x2＝(1＋t1cosα)＋(1＋t2cosα)＝2，所以(t1＋t2)cosα＝0，又cos