2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型2 解答题 规范踩点 多得分 第4讲 立体几何 第2

第4讲立体几何第2课时空间距离与几何体中体积、面积的计算题型2解答题规范踩点多得分[考情分析]空间距离和几何体体积(面积)问题是每年高考的必考内容，并且多在解答题的第二、三问中出现，难度适中，为中档题.1热点题型分析PARTONE热点1空间距离的计算点面距离常用以下两种方法求解：一是直接做出垂线段求解；二是利用三棱锥体积转换，求点到面的距离．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．解(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.连接OB，因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，AC∩OB＝O，知PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°.所以由余弦定理，得OM＝253，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455.所以点C到平面POM的距离为455.诚如上文所说，求点面距问题可以采用等积转换求解，除此之外个别问题也可采用垂面法(利用面面垂直性质定理)和等价转移法(利用线面平行)求解．当然，一些求几何体体积问题，也是对点面距问题的相应考查．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)已知点P在线段EF上，且EPPF＝2，求D到面APE的距离．解(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，所以∠DAB＝∠CBA＝60°，AB＝2，所以由余弦定理得BD＝3.因此AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥BD.又因为平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面BFED.(2)由(1)知，AD⊥平面BFED，所以AD⊥EP，AD⊥ED.又因为EP⊥ED，所以EP⊥平面ADE.BD＝3，BF＝1，EPPF＝2，所以EP＝233，设D到面PEA的距离为d，因为VA－EDP＝VD－AEP，即13·AD·S△EDP＝13·d·S△AEP，所以d＝AD·S△EDPS△AEP＝1×3333×2＝22.热点2几何体体积(面积)的计算空间几何体体积的常用公式：(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为体高)；(2)V锥＝13Sh(S为底面面积，h为体高)；(3)V台＝13(S＋SS′＋S′)h(S′，S分别为上，下底面面积，h为体高)(不要求记忆)．(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．解(1)证明：由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝13×3×6×3＝18.1．直接法：求一些规则几何体的体积时，可以根据几何体的特点，利用线面垂直、面面垂直等条件，确定几何体的高，再根据体积公式直接求解；2．等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可以当做底面，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解；3．割补法：割补法是处理立体几何问题的一种基本方法，解题思路是以已知几何体为背景，将其补成或分割成熟悉的、更易利用已知条件解决的简单几何体．(2019·广州模拟)如图，直角梯形ABEF中，∠ABE＝∠BAF＝90°，C，D分别是BE，AF上的点，且DA＝AB＝BC＝2a，DF＝2CE＝2a.沿CD将四边形CDFE翻折至四边形CDPQ的位置，连接AP，BP，BQ，得到多面体ABCDPQ，且AP＝6a.(1)求多面体ABCDPQ的体积；(2)求证：平面PBQ⊥平面PBD.解(1)∵DA＝AB＝BC＝2a，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，CD⊥DP.又AD∩DP＝D，AD，DP⊂平面ADP，∴CD⊥平面ADP.∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADP，∵AD2＋DP2＝AP2，∴AD⊥DP，又CD⊥AD，CD∩DP＝D，CD，DP⊂平面CDPQ，∴AD⊥平面CDPQ，又AD∥BC，∴BC⊥平面CDPQ.∴VB－CDPQ＝13S梯形CDPQ·BC＝13×a＋2a×2a2×2a＝a3，VB－ADP＝13S△ADP·AB＝13×12×2a×2a×2a＝2a33，∴多面体ABCDPQ的体积为VB－CDPQ＋VB－ADP＝5a33.(2)证明：取BP的中点G，连接GQ，DG，DQ，在△ABP中，BP＝AB2＋AP2＝22a，∴BG＝12BP＝2a，在△BCQ中，BQ＝BC2＋CQ2＝3a.PQ＝DP－CQ2＋CD2＝3a，∴PQ＝BQ，∴GQ⊥BP.∴QG＝BQ2－BG2＝a，又BD＝2AB＝2a＝DP，∴DG⊥BP，∴DG＝BD2－BG2＝2a，又DQ＝CQ2＋CD2＝3a，∴DQ2＝QG2＋DG2，∴QG⊥DG.又BP∩DG＝G，BP，DG⊂平面PBD，∴QG⊥平面PBD，又QG⊂平面PBQ，∴平面PBQ⊥平面PBD.2专题作业PARTTWO1．(2019·河南六市三模)已知在空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；(2)求三棱锥E－ABC的体积．解(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求．证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行．(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，易知DH＝3，∴NG＝32，又S△ABC＝12·BC·AH＝12×2×32－12＝22，∴VE－ABC＝13·S△ABC·NG＝63.2.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD为正三角形．(1)点M为线段AB上一点，若BC∥平面SDM，AM→＝λAB→，求实数λ的值；(2)若BC⊥SD，求点B到平面SAD的距离．解(1)因为BC∥平面SDM，BC⊂平面ABCD，平面SDM∩平面ABCD＝DM，所以BC∥DM.又AB∥DC，所以四边形BCDM为平行四边形，所以CD＝MB，又AB＝2CD，所以M为AB的中点．因为AM→＝λAB→，所以λ＝12.(2)因为BC⊥SD，BC⊥CD，所以BC⊥平面SCD，又BC⊂平面ABCD，所以平面SCD⊥平面ABCD.如图，在平面SCD内过点S作SE垂直CD交CD的延长线于点E，连接AE，又平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以SE⊥平面ABCD，所以SE⊥CE，SE⊥AE，在Rt△SEA和Rt△SED中，AE＝SA2－SE2，DE＝SD2－SE2，因为SA＝SD，所以AE＝DE，又易知∠EDA＝45°，所以AE⊥ED，由已知求得SA＝AD＝2，所以AE＝ED＝SE＝1.连接BD，则V三棱锥S－ABD＝13×12×2×1×1＝13，又V三棱锥B－ASD＝V三棱锥S－ABD，S△SAD＝12×2×2×32＝32，所以点B到平面SAD的距离为233.3．(2019·河南洛阳统一考试)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是平行四边形，A1A⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，AB＝2，BC＝1，AA1＝6，E为A1B1的中点．(1)求证：平面A1BD⊥平面A1AD；(2)求多面体A1E－ABCD的体积．解(1)证明：在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝BC＝1，由余弦定理得BD＝3，∴BD2＋AD2＝AB2.∴BD⊥AD.∵A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD.又A1A∩AD＝A，∴BD⊥平面A1AD.又BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD⊥平面A1AD.(2)设AB，CD的中点分别为F，G，连接EF，FG，GE，BD∩FG＝H.∵E，F，G分别为A1B1，AB，CD的中点，∴多面体EFG－A1AD为三棱柱．∵BD⊥平面A1AD，∴DH为三棱柱的高．又S△A1AD＝12AD·A1A＝62，DH＝12BD＝32，∴三棱柱EFG－A1AD的体积为S△A1AD·HD＝62×32＝324.在四棱锥E－BCGF中，EF∥A1A，∴EF⊥底面BCGF，EF＝A1A＝6.∵S四边形BCGF＝12S四边形ABCD＝12×2×1×sin60°＝32，∴四棱锥E－BCGF的体积为13S四边形BCGF·EF＝13×32×6＝22，∴多面体A1E－ABCD的体积为324＋22＝524.本课结束