2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型2 解答题 规范踩点 多得分 第2讲 三角函数课件

第2讲三角函数题型2解答题规范踩点多得分[考情分析]高考中，三角函数的核心考点是三角函数的图象和性质与解三角形．高考在该部分一般有两个试题，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正、余弦定理有关的小题；如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能还会有一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的小题.1热点题型分析PARTONE热点1三角函数的图象和性质三角函数的单调性及周期性的求法：(1)三角函数单调性的求法求形如y＝Asin(ωx＋φ)[或y＝Acos(ωx＋φ)](A，ω，φ为常数，A≠0，ω0)的单调性的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求解．(2)三角函数周期性的求法函数y＝Asin(ωx＋φ)[或y＝Acos(ωx＋φ)]的最小正周期T＝2π|ω|.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝π|ω|.(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sinx，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝fx＋π122＋fx＋π42的值域．解(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2.(2)y＝fx＋π122＋fx＋π42＝sin2x＋π12＋sin2x＋π4＝1－cos2x＋π62＋1－cos2x＋π22＝1－1232cos2x－32sin2x＝1－32cos2x＋π3.因此，所求函数的值域是1－32，1＋32.求三角函数的值域，一般可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，在转化的过程中经常要用到诱导公式、两角差(和)正(余)弦公式、二倍角公式、辅助角公式等．1．(2017·江苏高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．解(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.于是tanx＝－33.又x∈[0，π]，所以x＝5π6.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－3)＝3cosx－3sinx＝23cosx＋π6.因为x∈[0，π]，所以x＋π6∈π6，7π6，从而－1≤cosx＋π6≤32.于是，当x＋π6＝π6，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋π6＝π，即x＝5π6时，f(x)取到最小值－23.2.如图，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2在一个周期内的图象经过Bπ6，0，C2π3，0，D5π12，2三点．(1)写出A，ω，φ的值；(2)若α∈5π12，2π3，且f(α)＝1，求cos2α的值．解(1)由题意，知A＝2，ω＝2，φ＝－π3.(2)由(1)，得f(x)＝2sin2x－π3.因为f(α)＝1，所以sin2α－π3＝12.因为α∈5π12，2π3，所以2α－π3∈π2，π.则2α－π3＝5π6，所以2α＝7π6，则cos2α＝cos7π6＝－32.热点2解三角形解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC．(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC．解(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°A180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.因为0°C120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.解三角形问题主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数关系等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边化角”“角化边”，另外要注意a＋c，ac，a2＋c2三者的关系．1．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA＋C2＝bsinA．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解(1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA．因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，所以sinB2＝12，所以B2＝30°，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin120°－CsinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.结合A＋C＝120°，得30°C90°，所以12a2，从而38S△ABC32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.2．(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－π6，可得tanB＝3.又因为B∈(0，π)，可得B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝37.因为ac，故cosA＝27.因此sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17.所以，sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.2专题作业PARTTWO1．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－12.(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．解(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×－12.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×－12.解得c＝5.所以b＝7.(2)由cosB＝－12，得sinB＝32.由正弦定理，得sinA＝absinB＝3314.在△ABC中，B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sinA＝3314.2．已知函数f(x)＝2cos2xsinxcosx＋1－1.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．解(1)由cosx≠0，得x≠π2＋kπ(k∈Z)，所以f(x)的定义域为xx≠π2＋kπ，k∈Z.因为f(x)＝2sinxcosx＋1·cos2x－1＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4.所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)由π2＋2kπ≤2x＋π4≤3π2＋2kπ，得π8＋kπ≤x≤5π8＋kπ，所以f(x)的单调递减区间为π8＋kπ，π2＋kπ，π2＋kπ，5π8＋kπ(k∈Z)．3．(2019·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a,3csinB＝4asinC．(1)求cosB的值；(2)求sin2B＋π6的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理bsinB＝csinC，得bsinC＝csinB．由3csinB＝4asinC，得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a.因为b＋c＝2a，所以b＝43a，c＝23a.由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋49a2－169a22·a·23a＝－14.(2)由(1)可得sinB＝1－cos2B＝154，从而sin2B＝2sinBcosB＝－158，cos2B＝cos2B－sin2B＝－78，故sin2B＋π6＝sin2Bcosπ6＋cos2Bsinπ6＝－158×32－78×12＝－35＋716.4．(2018·北京高考)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－17.(1)求角A；(2)求AC边上的高．解(1)在△ABC中，∵cosB＝－17，∴B∈π2，π，∴sinB＝1－cos2B＝437.由正弦定理，得asinA＝bsinB⇒7sinA＝8437，∴sinA＝32.∵B∈π2，π，∴A∈0，π2，∴∠A＝π3.(2)在△ABC中，∵sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA＝32×－17＋437×12＝3314.如图所示，在△ABC中，∵sinC＝hBC，∴h＝BC·sinC＝7×3314＝332，∴AC边上的高为332.本课结束