2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型1 选填题 练熟练稳 少丢分 第15讲 概率与统计课

第15讲概率与统计题型1选填题练熟练稳少丢分[考情分析]统计的主要内容包括随机抽样、用样本估计总体、变量的相关关系；概率部分以考查古典(几何)概型、互斥事件、对立事件等为主，主要以选择或填空的方式呈现，多为低、中档题目．1热点题型分析PARTONE热点1抽样方法与用样本估计总体1.抽样方法2．样本的数字特征(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的一个或两个数据的平均数，是样本数据的“中心点”；(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x－＝1n(x1＋x2＋…＋xn)，是样本数据的平均水平；(4)方差与标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，表示样本数据的离散程度，标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．方差：s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2]；标准差：s＝1n[x1－x－2＋x2－x－2＋…＋xn－x－2].3．直方图的两个结论(1)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率；(2)各小长方形的面积之和等于1.4．直方图与众数、中位数和平均数的关系(1)众数：是直方图中最高矩形的底边中点横坐标；(2)中位数：是直方图中平分所有矩形面积和，且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；(3)平均数：是每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．1．(2019·东三省三校一模)如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列，且年龄在[30,35)的频率为0.3，则由此频率分布直方图估计该小区在20岁到45岁的居民上网年龄的()A．平均数为32.5B．众数为32.25C．中位数为953D．在[40,45]的频率为0.15答案C解析由题意可知[20,25)，[25,30)，[30,35)的频率分别为0.05,0.35,0.3.设[35,40)，[40,45]的频率分别为a，b.因为已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列，所以他们的频率也成递减的等差数列，则有a＋b＝0.3且2a＝b＋0.3，解得a＝0.2，b＝0.1，故选项D不正确；居民上网年龄的平均数为22.5×0.05＋27.5×0.35＋32.5×0.3＋37.5×0.2＋42.5×0.1＝32.25，所以A不正确；根据众数和直方图的关系，可得上网年龄的众数为27.5，故B不正确；由前面计算可知中位数在[30,35)组中，设中位数为x，则x－305＝0.10.3，解得x＝953，故选C．2．一个总体中的100个个体的号码分别为0,1,2，…，99，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为m，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组(k＝1,2，…，9)中抽取的号码个位数字为m＋k或m＋k－10(如果m＋k≥10)，当m＝5时，第8组抽取的号码为________．答案83解析因为m＝5，k＝8，则m＋k＝13，则第8组中抽取号码的个位数字为m＋k－10＝3，所以第8组抽取的号码为83.3．(2019·江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．解析这组数据的平均数为8，故方差为s2＝16×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝53.答案531．对于以统计图为载体的概率与统计问题，认真观察图表，从中提取有用信息和数据是解题关键．特别是利用频率直方图解题时，常把直方图的高误认为是频率而导致错误．因此，应注意每个小矩形的面积为频率，所有面积和为1.对于第1题这类，利用直方图考查众数、中位数和平均数的问题，关键在于相应的计算公式是否掌握，特别是中位数问题，找准中位数所在的区间是解题关键；2．对于抽样方法的问题，要明确总体的基本特征符合哪种抽样特点．对于系统抽样通常是等距抽样，但也有例外情况，如第2题给出的规则即为每组号码错后一位，如果还按照等距原则计算，就会出现错解85.因此解决系统抽样的问题时，要认真审题，分析题目给出的抽取规则，按照规则进行抽样；3．对于样本的数字特征的一系列问题(如第3题)，解题关键在于计算公式的准确使用和计算准确，应掌握简便运算的方法，减小计算量，提高准确率．热点2统计案例1．线性回归方程方程y^＝b^x＋a^称为线性回归方程，利用最小二乘法估计公式斜率和截距分别为b^＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y－－b^x－，其中(x－，y－)是样本点的中心，且回归直线恒过该点．2．相关系数r＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2i＝1nyi－y－2，当r0时，表明变量x与y正相关，r0时，表明变量x与y负相关．若|r|∈[0.75,1]时，相关性很强；|r|∈[0.3,0.75)时，相关性一般；|r|∈[0,0.25]时，相关性较弱．3．残差分析R2＝1－i＝1nyi－y^i2i＝1nyi－y－2，当R2越大时，残差平方和i＝1n(yi－y^i)2越小，拟合效果越好；当R2越小时，残差平方和越大，拟合效果越差．4．独立性检验随机变量K2＝a＋b＋c＋dad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d(K2也可以表示为χ2)，当K23.841时，则有95%的把握说两个事件有关；当K26.635时，则有99%的把握说两个事件有关．1．(2019·衡水中学调研)已知变量x，y之间的线性回归方程为y^＝－0.7x＋10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是()x681012y6m32A．变量x，y之间呈负相关关系B．可以预测，当x＝20时，y^＝－3.7C．m＝4D．该回归直线必过点(9,4)答案C解析由题意得，由－0.70，得变量x，y之间呈负相关，故A正确；当x＝20时，则y^＝－0.7×20＋10.3＝－3.7，故B正确；由数据表格可知x－＝14×(6＋8＋10＋12)＝9，y－＝14×(6＋m＋3＋2)＝11＋m4，则11＋m4＝－0.7×9＋10.3，解得m＝5，故C错误；由数据表易知，样本点中心为(9,4)，故D正确．故选C．2．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示2×2列联表：理科文科总计男131023女72027总计203050已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，则有________的把握认为选修文科与性别有关．解析由题意，K2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，因为4.8443.841，所以有95%的把握认为选修文科与性别有关．答案95%1．线性回归分析是对有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义；同时，根据回归方程预测仅是一个预测值，而不是真实发生的值．2．独立检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表．在分析问题时一定要注意不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果做出错误的解释．1．古典概型P(A)＝事件A所包含的基本事件数基本事件总数.2．几何概型P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A．16B．14C．13D．12答案D解析设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的情况)共有12种，故所求概率为1224＝12.故选D．2．(2019·西安调研)若函数f(x)＝ex，0≤x＜1，lnx＋e，1≤x≤e，在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A．1eB．1－1eC．e1＋eD．11＋e答案B解析当0≤x1时，恒有f(x)＝exe，不满足题意．当1≤x≤e时，f(x)＝lnx＋e.由lnx＋e≥e，得1≤x≤e.∴所求事件的概率P＝e－1e＝1－1e.1．运用古典概型和几何概型计算公式的前提，是当所述试验的所有基本事件是等可能的．2．几何概型的考查重点是几何测度的选择，通常为长度、面积、体积、弧长、夹角等．2真题自检感悟PARTTWO1．(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3答案A解析不妨取AB＝AC＝2，则BC＝22，所以区域Ⅰ的面积为S△ABC＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p1＝p2，故选A．2．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A．112B．114C．115D．118答案C解析不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有45种方法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为345＝115，选C．3．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A．23B．35C．25D．15答案B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B．4．(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．答案710解析解法一：设3名男同学分别为A，B，C,2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为710.解法二：同解法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－310＝710.3专题作业PARTTHREE一、选择题1．(2019·银川二模)某对夫妇计划生育3个孩子，则这个家庭