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第11讲空间几何体题型1选填题练熟练稳少丢分热点题型分析真题自检感悟专题作业[考情分析]空间几何体的命题常以三视图为载体，以几何体或者组合体的面积、体积等知识为主线进行考查，难度中等，相对稳定．个别试题融入对函数与不等式的考查，难度较大．1热点题型分析PARTONE热点题型分析真题自检感悟专题作业热点1空间几何体的三视图1.一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正，高平齐，宽相等”．热点题型分析真题自检感悟专题作业2.由三视图还原直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面；(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱的位置；(3)确定几何体的直观图形状．3.多角度、多维度、多方位观察长方体、三棱锥、四棱锥不同放置的投影，在头脑中形成较为清晰的模型意象，提升空间想象能力．热点题型分析真题自检感悟专题作业1.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A.217B．25C．3D．2答案B热点题型分析真题自检感悟专题作业解析根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42＋22＝25，故选B.热点题型分析真题自检感悟专题作业2.将正三棱柱截去三个角(如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为()热点题型分析真题自检感悟专题作业解析解题时在题图2的右边放扇墙(心中有墙)可得答案为A.答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业1.三视图与直观图相互转化时，根据观察视角的不同，实虚线的正确使用至关重要，它是决定几何体形状的关键因素．2.解题时可以借助长(正)方体为框架，充分利用正(长)方体中棱与面的垂直关系进行投影.热点题型分析真题自检感悟专题作业热点2空间几何体的表面积与体积(高频考点)1.空间几何体的常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式①S直棱柱侧＝ch(c为底面周长，h为体高)；S圆柱侧＝12ch(c为底面周长，h为体高)；②S正棱锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)；S圆锥侧＝12cl(c为底面周长，l为母线)；热点题型分析真题自检感悟专题作业③S正棱台侧＝12(c＋c′)h′(c′，c分别为上，下底面的周长，h′为斜高)；S圆台侧＝12(c＋c′)l(c′，c分别为上，下底面的周长，l为母线)．(2)柱体、锥体、台体的体积公式①V柱＝Sh(S为底面面积，h为体高)；②V锥＝13Sh(S为底面面积，h为体高)；③V台＝13(S＋SS′＋S′)h(S′，S分别为上，下底面面积，h为体高)(不要求记忆)．热点题型分析真题自检感悟专题作业(3)球的表面积和体积公式①S球＝4πR2(R为球的半径)；②V球＝43πR3(R为球的半径)．2.求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上；(2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解；(3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化．热点题型分析真题自检感悟专题作业1．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个面是梯形，这些梯形的面积之和为()A.10B．12C．14D．16答案B热点题型分析真题自检感悟专题作业解析根据三视图，得到该几何体的直观图如右图所示，由图可知，该几何体的面AA′DC和面BB′DC是两个全等的梯形，因此所求的梯形面积和为2×(2＋4)×2×12＝12，故选B.热点题型分析真题自检感悟专题作业2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．8π－163B．4π－163C.8π－4D．4π＋83答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业解析该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体，∴体积V＝12π×22×4－13×12×2×4×4＝8π－163.热点题型分析真题自检感悟专题作业3.(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A.18＋365B．54＋185C.90D．81答案B热点题型分析真题自检感悟专题作业解析由三视图可知，该几何体是以边长为3的正方形为底面的斜四棱柱(如图所示)，所以该几何体的表面积为S＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×32＋62＝54＋185，故选B.热点题型分析真题自检感悟专题作业几何体的表面积与体积的考查，往往是结合三视图进行的．易错点主要有两个：(1)不能准确将三视图还原几何体(特别是求面积或者棱长问题)；如第1题和第3题，特别是第3题，题中几何体为斜四棱柱，俯视图由上下底面的投影组合而成，因而容易使得还原出现偏差．因此，借助长(正)方体准确还原几何体的直观图是有效的手段．热点题型分析真题自检感悟专题作业(2)应用公式不熟练，获取数据信息有误导致计算错．如第3题中，常误用左视图的高，作为几何体左右侧面的高，从而导致计算有误．因此求解此类问题时，一是由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量；二是熟练掌握各类几何体的表面积和体积公式求解.热点题型分析真题自检感悟专题作业热点3多面体与球的切、接问题通常利用球与多面体(棱柱、棱锥)，球与旋转体(圆柱、圆锥)的内接与外切等位置关系，考察两个几何体的相互联系．求解这类问题时，一般过球心及多面体中的接点、切点、球心或侧棱等作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．也可以只画内接、外切的几何体直观图，确定圆心的位置，弄清球的半径(或直径)与该几何体已知量间的关系，列方程(组)求解．热点题型分析真题自检感悟专题作业(2019·漳州模拟)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，AA1＝2，则其外接球与内切球的表面积的比值为()A.294B.192C.292D．29答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业解析如图1，分别取AC，A1C1的中点G，H，连接GH，取GH的中点O，连接OA，由题意，得A1B21＋B1C21＝A1C21，即△A1B1C1为直角三角形，则点O为外接球的球心，OA为半径，则外接球的半径R＝OA＝1＋254＝292；热点题型分析真题自检感悟专题作业如图2，作三棱柱的中截面，则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心，中截面三角形的内切圆的半径r＝3＋4－52＝1，也是内切球的半径，因为R∶r＝29∶2，所以其外接球与内切球的表面积的比值为4πR24πr2＝294.故选A.热点题型分析真题自检感悟专题作业解决多面体与球的切、接问题时，利用几何体与球的空间直观图分析问题很难求解，这时就需要根据图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，从熟悉的圆的性质中找到球的性质，从而找到解决问题的关键.热点题型分析真题自检感悟专题作业热点4交汇题型立体几何内容与平面解析几何之间关系密切，也与函数、三角、不等式有着千丝万缕的联系．近年高考对立体几何的考察，会适度与上述内容进行融合，用代数的方法思考、解决空间几何问题．热点题型分析真题自检感悟专题作业交汇点一空间几何体与函数、方程及不等式典例1如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝4，EB＝23.设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，则函数V(x)的解析式为________，三棱锥B－ACE体积的最大值为________．热点题型分析真题自检感悟专题作业解析∵DC⊥平面ABC，DC∥BE，∴BE⊥平面ABC.在Rt△ABC中，∵AC＝x，∴BC＝16－x2(0x4)，∴S△ABC＝12AC·BC＝12x·16－x2，∴V(x)＝V三棱锥E－ABC＝33x·16－x2(0x4)．热点题型分析真题自检感悟专题作业∵x2(16－x2)≤x2＋16－x222＝64，当且仅当x2＝16－x2，即x＝22时取等号，∴当x＝22时，体积有最大值833.热点题型分析真题自检感悟专题作业答案V(x)＝33x·16－x2(0x4)833热点题型分析真题自检感悟专题作业空间几何体与函数、方程及不等式相交汇问题，常以考查某几何量的最值为主要方式．其解决的常用方法是，找到引起变化的几何量(线段长或角度)，并建立起所求几何量与变化量之间的函数关系，再运用函数的单调性或均值不等式求解.热点题型分析真题自检感悟专题作业(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．答案415热点题型分析真题自检感悟专题作业解析如图，连接OD，交BC于点G，由题意，知OD⊥BC，OG＝36BC.设OG＝x，则BC＝23x，DG＝5－x，三棱锥的高h＝DG2－OG2热点题型分析真题自检感悟专题作业＝25－10x＋x2－x2＝25－10x，S△ABC＝12×23x×3x＝33x2，则三棱锥的体积V＝13S△ABC·h＝3x2·25－10x＝3·25x4－10x5.令f(x)＝25x4－10x5，x∈0，52，则f′(x)＝100x3－50x4.热点题型分析真题自检感悟专题作业令f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈2，52时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，故当x＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤3×80＝415.所以三棱锥体积的最大值为415cm3.热点题型分析真题自检感悟专题作业交汇点二空间几何体与命题典例2(2019·东北三省四市高三第二次模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等；q：A，B在同高处的截面面积不恒等．根据祖暅原理可知，p是q的()A.充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件热点题型分析真题自检感悟专题作业答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业空间几何体与命题交汇的问题，常在充要条件处设置障碍．解决此类问题的关键，在于明确命题的条件和结论互推的结果．因其内容主要与几何体的基本概念相结合，因此解决过程中，一是要明确各基本定义、定理，正确的能进行论证；二是利用具体图形作分析，举出相应的反例.热点题型分析真题自检感悟专题作业设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件B．必要不充分条件C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.2真题自检感悟PARTTWO热点题型分析真题自检感悟专题作业1.(2019·全国卷Ⅰ)已