2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型1 选填题 练熟练稳 少丢分 第7讲 三角恒等变换与

第7讲三角恒等变换与解三角形题型1选填题练熟练稳少丢分热点题型分析真题自检感悟专题作业[考情分析]三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的内容．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：(1)边和角的计算；(2)三角形形状的判断；(3)面积的计算；(4)有关边、角的范围问题；(5)实际应用问题．1热点题型分析PARTONE热点题型分析真题自检感悟专题作业热点1三角恒等变换及求值三角恒等变换“四大策略”：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑，如：sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．热点题型分析真题自检感悟专题作业1.若sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α的值为()A.－13B．－79C.13D.79答案B热点题型分析真题自检感悟专题作业解析∵sinπ6－α＝cosπ2－π6－α＝cosπ3＋α＝13，∴cos2π3＋2α＝2cos2π3＋α－1＝2×132－1＝－79.热点题型分析真题自检感悟专题作业2.若α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α－β)＝1010，则cosβ＝()A.22B.210C.22或－210D.22或210答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业解析∵α，β都是锐角，∴－π2α－βπ2，又cosα＝55，sin(α－β)＝1010，∴sinα＝255，cos(α－β)＝31010，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22.故选A.热点题型分析真题自检感悟专题作业研究三角函数式的求值问题，解题的关键是找出条件中的角与所求角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．第1题易错点有二：一是不善于发现π6－α与π3＋α两角的互余关系；二是二倍角公式的正确记忆及应用．第2题易忽略角的配凑技巧，而利用两角和与差公式直接展开，结合同角基本关系式1＝sin2θ＋cos2θ而错选C.热点题型分析真题自检感悟专题作业热点2正弦定理、余弦定理1.利用正、余弦定理解三角形的思路(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到；(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．热点题型分析真题自检感悟专题作业2.利用正、余弦定理判断三角形形状的两种常用途径(1)角化边：通过正弦、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；(2)边化角：通过正弦、余弦定理化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．3.与三角形面积有关问题的解题思路(1)先转化：根据条件，利用三角变换公式化简已知条件等式，再利用正、余弦定理化边或化角；热点题型分析真题自检感悟专题作业(2)再选面积公式：根据条件选择面积公式，多用三角形的面积S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(3)后求值：若求值可根据条件直接求出，若求最值，注意根据条件常利用基本不等式求最值．热点题型分析真题自检感悟专题作业1.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6答案C热点题型分析真题自检感悟专题作业解析由题可知S△ABC＝12absinC＝a2＋b2－c24，所以a2＋b2－c2＝2absinC.由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC.因为C∈(0，π)，所以C＝π4，故选C.热点题型分析真题自检感悟专题作业2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为()A.等腰三角形B．直角三角形C.等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案D热点题型分析真题自检感悟专题作业解析∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，由正弦定理得，sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sin(A＋B)－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，得2cosAsinB＝2sinAcosA，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形．故选D.热点题型分析真题自检感悟专题作业3.(2018·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.解析由正弦定理asinA＝bsinB，得732＝2sinB，所以sinB＝217.由余弦定理，cosA＝b2＋c2－a22bc，得12＝4＋c2－74c，所以c＝3.答案2173热点题型分析真题自检感悟专题作业1.第1题易错在三角形面积公式的选择和余弦定理的正确运用上．2.应用正、余弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，如第2题易忽略cosA＝0的情况而错选A.3.第3题在求边c时，如果选用正弦定理易由于运算量过大而导致出错，恰当的选择余弦定理可简便求解.热点3正、余弦定理的实际应用热点题型分析真题自检感悟专题作业解正弦、余弦定理的实际应用问题的步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与所求，画出示意图．尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出实际问题的解．热点题型分析真题自检感悟专题作业1．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案507热点题型分析真题自检感悟专题作业解析连接OC，由题意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°.在△COD中，由余弦定理得OC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos60°，即OC＝507.热点题型分析真题自检感悟专题作业2．某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，若此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为________km/h.答案45热点题型分析真题自检感悟专题作业解析由已知得∠CAB＝25°＋35°＝60°，BC＝31，CD＝21，BD＝20，可得cosB＝BC2＋BD2－CD22BC×BD＝312＋202－2122×31×20＝2331，那么sinB＝12331，于是在△ABC中，AC＝BCsinBsin∠CAB＝24，在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos60°，即312＝242＋AB2－24AB，解得AB＝35或AB＝－11(舍去)，因此AD＝AB－BD＝35－20＝15.故此人在D处距A处还有15km，若此人必须在20分钟，即13小时内从D处到达A处，则其最小速度为15÷13＝45(km/h).热点题型分析真题自检感悟专题作业理解题中方向角的概念，第2题易概念不清楚而导致出错.2真题自检感悟PARTTWO热点题型分析真题自检感悟专题作业1.(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B.79C．－79D．－89解析由公式可得cos2α＝1－2sin2α＝1－29＝79.故选B.答案B热点题型分析真题自检感悟专题作业2.(2017·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A.a＝2bB．b＝2aC.A＝2BD．B＝2A答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业解析∵等式右边＝sinAcosC＋(sinAcosC＋cosAsinC)＝sinAcosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB，等式左边＝sinB＋2sinBcosC，∴sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB.由cosC＞0，得sinA＝2sinB.根据正弦定理，得a＝2b.故选A.热点题型分析真题自检感悟专题作业3.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．答案63热点题型分析真题自检感悟专题作业解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.又b＝6，a＝2c，B＝π3，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×12，∴c＝23，a＝43，∴S△ABC＝12acsinB＝12×43×23×32＝63.热点题型分析真题自检感悟专题作业4.(2017·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.答案152104热点题型分析真题自检感悟专题作业解析解法一：依题意作出图形，如图所示，则sin∠DBC＝sin∠ABC.由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝42＋22－422×4×2＝14，热点题型分析真题自检感悟专题作业则sin∠DBC＝sin∠ABC＝154，所以S△BDC＝12BC·BD·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152.因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－14＝BD2＋BC2－CD22BD·BC＝8－CD28，所以CD＝10.由余弦定理，得cos∠BDC＝4＋10－42×2×10＝104.热点题型分析真题自检感悟专题作业解法二：同解法一得cos∠ABC＝14，S△BDC＝152.因为BD＝BC＝2，所以∠BDC＝12∠ABC，则cos∠BDC＝1＋cos∠ABC2＝104.3专题作业PARTTHREE热点题型分析真题自检感悟专题作业一、选择题1.下列各式中，值为12的是()A.sin15°cos15°B．cos2π12－sin2π12C.1＋cosπ62D.tan22.5°1－tan222.5°答案D热点题型分析真题自检感悟专题作业解析sin15°cos15°＝12sin30°＝14，排除A；cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32，排除B;1＋cosπ62＝1＋322＝2＋32，排除C；由tan45°＝2tan22.5°1－tan222.5°＝1知tan22.5°1－tan222.5°＝12，故选D.热点题型分析真题自检感悟专题作业2.(2019·山师大附中模拟)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0φπ)在x＝π6时取得最大值，则函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象()A.关于点π6，0对称B．关于点π3，0对称C.关于直线x＝π6对称D．关于直线x＝π3对称答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业解析因为当x＝π6时