2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型1 选填题 练熟练稳 少丢分 第6讲 三角函数的图象

第6讲三角函数的图象与性质题型1选填题练熟练稳少丢分热点题型分析真题自检感悟专题作业[考情分析]高考对三角函数的图象的考查有：利用“五点法”作出图象、图象变换、由三角函数的图象研究三角函数的性质、由三角函数的部分图象确定解析式等．三角函数的性质是高考的一个重要考点，它既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题，常通过三角变换将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)．1热点题型分析PARTONE热点题型分析真题自检感悟专题作业热点1三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系1.利用三角函数的定义时应注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．2.应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限的符号，利用同角三角函数的关系化简时要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．3.已知tanα的值，求关于sinα与cosα的齐n次分式的值：分子、分母同除以cosnα，转化为关于tanα的式子求解．热点题型分析真题自检感悟专题作业1.若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α等于()A.6425B.4825C．1D.1625解析tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业2.(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则cos(α－β)＝________.答案－79热点题型分析真题自检感悟专题作业解析由题意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)，sinβ＝sinα，cosβ＝－cosα.又sinα＝13，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝2×19－1＝－79.热点题型分析真题自检感悟专题作业第1题中易忽略sin2α＋cos2α＝1的应用，想不到将所求式子的分母看作“1”，利用代换后转化为“切”，然后求解．第2题易错点有二：一是不能把角α与角β的终边关于y轴对称正确转化出角α与角β的关系；二是由α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)不能利用诱导公式正确得出角α与角β的正余弦之间的关系.热点题型分析真题自检感悟专题作业热点2三角函数的图象与解析式1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找到第一个零点的位置．2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．周期变换只是相对于自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．热点题型分析真题自检感悟专题作业题型1三角函数的图象与变换(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2热点题型分析真题自检感悟专题作业C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2答案D热点题型分析真题自检感悟专题作业解析解法一：因为C2：y＝sin2x＋2π3＝cos2x＋2π3－π2＝cos2x＋π6，把C1：y＝cosx图象上各点的横坐标变为原来的12，得到y＝cos2x，再把y＝cos2x图象上各点的横坐标向左平移π12个单位得到C2.故选D.解法二：因为C2：y＝sin2x＋2π3＝cos2x＋2π3－π2＝cos2x＋π6，把C1：y＝cosx图象上各点的横坐标向左平移π6个单位得到y＝cosx＋π6，再把y＝cosx＋π6图象上各点的横坐标变为原来的12得到C2.故选D.热点题型分析真题自检感悟专题作业变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数．如本题易错点有二：一是不改变函数名直接伸缩，平移而出错；二是解法一中先伸缩后平移的改变量出错.热点题型分析真题自检感悟专题作业题型2利用三角函数图象求解析式已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度后，所得图象与函数y＝g(x)的图象重合，则()热点题型分析真题自检感悟专题作业A.g(x)＝2sin2x＋π3B．g(x)＝2sin2x＋π6C.g(x)＝2sin2xD．g(x)＝2sin2x－π3答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业解析根据函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，|φ|≤π2的部分图象，可得34T＝34·2πω＝2π3＋π12，∴ω＝2，利用f－π12＝0，可得ω·－π12＋φ＝2·－π12＋φ＝0，∴φ＝π6，故f(x)＝2sin2x＋π6，将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度后，所得图象与函数y＝g(x)的图象重合，故g(x)＝2sin2x＋π6＋π6＝2sin2x＋π3，故选A.热点题型分析真题自检感悟专题作业本题易错点有二：一是不能由图象得出34T的值，从而不能正确得出ω；二是判断不准零点x＝－π12对应的是ωx＋φ＝0还是ωx＋φ＝π，从而影响φ的正确得出．一般地，利用零点时，图象上升时与x轴的交点：ωx＋φ＝0；图象下降时与x轴的交点：ωx＋φ＝π.如果求出的φ值不在指定范围内，可以通过加减2πω的整数倍达到目的.热点题型分析真题自检感悟专题作业热点3三角函数的性质(高频考点)求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识：(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的x，采用整体代换求解．①令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，可求得对称轴方程；热点题型分析真题自检感悟专题作业②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A0，A0.热点题型分析真题自检感悟专题作业题型1三角函数的定义域和值域1.(2018·北京高考)设函数f(x)＝cosωx－π6(ω0)．若f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．答案23热点题型分析真题自检感悟专题作业解析∵f(x)≤fπ4对任意的实数x都成立，∴fπ4＝cosπ4ω－π6＝1得π4ω－π6＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝23＋8k(k∈Z)，∵ω0，∴ω的最小值为23.热点题型分析真题自检感悟专题作业2.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．解析f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cosx－322＋1.∵x∈0，π2，∴cosx∈[0,1]，∴当cosx＝32时，f(x)取得最大值，最大值为1.答案1热点题型分析真题自检感悟专题作业第2题易错点有二：一是变换的目标不明确，不能化为“一角一函数”的形式进而求解；二是换元之后忽略新元定义域而导致出错.热点题型分析真题自检感悟专题作业题型2三角函数的单调性(2019·汕头一模)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|≤π2在区间π4，π2内是增函数，则()A.fπ4＝－1B．f(x)的周期为π2C.ω的最大值为4D．f3π4＝0答案C热点题型分析真题自检感悟专题作业解析解法一：由题知，π2－π4≤T2，又T＝2πω，∴π4≤πω，即14≤1ω，ω≤4，C正确．故选C.解法二：当ω＝1，φ＝0时，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＝sinx在区间π4，π2上单调递增，此时fπ4＝22≠－1，排除A；f(x)的最小正周期为2π，排除B；f3π4＝22≠0，排除D.故选C.热点题型分析真题自检感悟专题作业本题对y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间求法不熟易导致无从下手.题型3三角函数的奇偶性、周期性、对称性(2019·青岛模拟)若函数f(x)＝sin2x－π6的图象向左平移π6个单位后，得到y＝g(x)的图象，则下列说法错误的是()A.y＝g(x)的最小正周期为πB.y＝g(x)的图象关于直线x＝π6对称热点题型分析真题自检感悟专题作业C.y＝g(x)在－π6，π3上单调递增D.y＝g(x)的图象关于点5π12，0答案C热点题型分析真题自检感悟专题作业解析把函数f(x)＝sin2x－π6的图象向左平移π6个单位后，得到y＝g(x)＝sin2x＋π6的图象，故g(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，故A正确；令x＝π6可得g(x)＝1，为最大值，故y＝g(x)的图象关于直线x＝π6对称，故B正确；在－π6，π3上2x＋π6∈－π6，5π6，故y＝g(x)在－π6，π3上没有单调性，故C错误；由x＝5π12，可得g(x)＝0，故y＝g(x)的图象关于点5π12，0对称，故D正确．故选C.热点题型分析真题自检感悟专题作业本题易错点有两个：一是平移规则不熟悉而导致g(x)解析式错求为g(x)＝sin2x；二是不会利用y＝Asin(ωx＋φ)性质的整体代换意识解决此类问题.2真题自检感悟PARTTWO热点题型分析真题自检感悟专题作业1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255答案B热点题型分析真题自检感悟专题作业解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又α∈0，π2，∴tanα＝12，∴sinα＝55.故选B.热点题型分析真题自检感悟专题作业2.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业解析∵f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4，∴由2kπ≤x＋π4≤π＋2kπ(k∈Z)得－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z)，∴[－a，a]⊂－π4，3π4，∴－aa，－a≥－π4，a≤3π4，∴0a≤π4，从而a的最大值为π4，故选A.热点题型分析真题自检感悟专题作业3.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A.f(x)的一个周期为－2πB.y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C.f(x＋π)的一个零点为x＝π6D.f(x)在π2，π单调递减答案D热点题型分