2020届高考数学大二轮复习 冲刺创新专题 题型1 选填题 练熟练稳 少丢分 第5讲 平面向量课件

第5讲平面向量题型1选填题练熟练稳少丢分热点题型分析真题自检感悟专题作业[考情分析]平面向量是高考的必考内容，近几年命题较稳定，常以客观题的形式出现，主要考查向量的线性运算、坐标运算及向量数量积的性质、利用向量数量积求夹角、模等．有时也作为工具参与三角函数、解析几何等综合命题，属于中、低档难度题．1热点题型分析PARTONE热点题型分析真题自检感悟专题作业热点1平面向量的概念与线性运算1.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．2.利用平面向量基本定理实现了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线的向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2，常用方法有两种：一是直接利用三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理来求解；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程求解．热点题型分析真题自检感悟专题作业如图，在△OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD＝2DB，DC和OA相交于点E.若OE→＝λOA→，则λ＝()A.34B.35C.45D.12答案C热点题型分析真题自检感悟专题作业解析解法一：设OA→＝a，OB→＝b，由题意得DC→＝OC→－OD→＝OA→＋AC→－23OB→＝OA→＋BA→－23OB→＝OA→＋OA→－OB→－23OB→＝2OA→－53OB→＝2a－53b.因为OE→＝λOA→＝λa，设DE→＝μDC→＝2μa－53μb，又OE→＝OD→＋DE→，所以λa＝23b＋2μa－53μb＝2μa＋23－53μb，所以λ＝2μ，23－53μ＝0，所以λ＝45.热点题型分析真题自检感悟专题作业解法二：由题意知，AB＝AC，OD＝2DB，过点A作AF∥OB交CD于点F(图略)，则AFBD＝ACBC＝12，即AF＝12BD＝14OD，故AE＝14OE，则OE＝45OA，又OE→＝λOA→，故λ＝45.热点题型分析真题自检感悟专题作业在运用向量共线定理时，向量a与b共线，即存在实数λ保持a＝λb成立的前提条件是b≠0.热点2平面向量的数量积1.平面向量的数量积的运算的两种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化．(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．热点题型分析真题自检感悟专题作业2.夹角公式(θ为向量a，b的夹角，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.3.模|a|＝a·a＝x21＋y21.4.a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.热点题型分析真题自检感悟专题作业1.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案B热点题型分析真题自检感悟专题作业解析设a与b的夹角为θ，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即a·b－|b|2＝0.又a·b＝|a||b|cosθ，|a|＝2|b|，∴2|b|2cosθ－|b|2＝0，∴cosθ＝12.又0≤θ≤π，∴θ＝π3.故选B.热点题型分析真题自检感悟专题作业2.(2017·天津高考)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD→＝2DC→，AE→＝λAC→－AB→(λ∈R)，且AD→·AE→＝－4，则λ的值为________．答案311热点题型分析真题自检感悟专题作业解析由题意知∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，AB→·AC→＝3×2×cos60°＝3，AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝13AB→＋23AC→，∴AD→·AE→＝13AB→＋23AC→·(λAC→－AB→)热点题型分析真题自检感悟专题作业＝λ－23AB→·AC→－13AB→2＋2λ3AC→2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4.解得λ＝311.热点题型分析真题自检感悟专题作业3.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.答案23热点题型分析真题自检感悟专题作业解析解法一：|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝23.热点题型分析真题自检感悟专题作业解法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC→|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.热点题型分析真题自检感悟专题作业1.要注意夹角的取值范围：0°≤θ≤180°，第1题容易出现的问题有两个：一是向量模的平方的正确运算；二是特殊角的余弦值的求法，易错为θ＝30°.2.对于第2题这类涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素．本题中，由于∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，故可选AB→和AC→作为基底．求解该题时容易出现两个错误：一是不能通过向量的运算把AD→用AB→和AC→线性表示；二是两向量的差AC→－AB→＝BC→，容易把差向量的方向颠倒导致出错.热点题型分析真题自检感悟专题作业3.平面向量中涉及到有关模长的问题，通常是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度．第3题容易对向量的模与数量积的关系理解不清导致错误，如认为|a＋2b|＝|a|＋|2b|.热点题型分析真题自检感悟专题作业热点3交汇题型平面向量具有代数形式与几何形式的“双重性”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，充分体现平面向量的载体性与工具性．热点题型分析真题自检感悟专题作业交汇点一平面向量与三角典例1(2019·江西新高考联盟质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝a2，c2，n＝(cosC，cosA)，且m·n＝bcosB，则B的值是()A.π6B.π3C.π2D.2π3热点题型分析真题自检感悟专题作业解析∵m·n＝a2cosC＋c2cosA，且m·n＝bcosB，∴a2cosC＋c2cosA＝bcosB，即acosC＋ccosA＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，则sin(A＋C)＝2sinBcosB，即sinB＝2sinBcosB.∵0Bπ，∴sinB≠0，∴cosB＝12，∴B＝π3.故选B.答案B热点题型分析真题自检感悟专题作业平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化，进而解决平面向量与“三角”相交汇题.热点题型分析真题自检感悟专题作业设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C热点题型分析真题自检感悟专题作业解析∵依题意得3sinAcosB＋3cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，∴3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，∴3sinC＋cosC＝1，∴2sinC＋π6＝1，∴sinC＋π6＝12.又π6C＋π67π6，因此C＋π6＝5π6，C＝2π3，故选C.热点题型分析真题自检感悟专题作业交汇点二平面向量与解析几何典例2(2019·南昌二模)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的左、右焦点，若MF1→·MF2→0，则y0的取值范围是()A.－33，33B.－36，36C.－223，223D.－233，233热点题型分析真题自检感悟专题作业解析不妨令F1为双曲线的左焦点，则F2为右焦点，由题意可知a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴F1(－3，0)，F2(3，0)，则MF1→·MF2→＝(－3－x0)·(3－x0)＋(－y0)·(－y0)＝x20＋y20－3.又知x202－y20＝1，∴x20＝2＋2y20，∴MF1→·MF2→＝3y20－10.∴－33y033.故选A.答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予求解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法来快速求解.热点题型分析真题自检感悟专题作业(2019·咸阳二模)设F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足(OP→＋OF2→)·PF2→＝0(O为坐标原点)，且3|PF1→|＝4|PF2|，则双曲线的离心率为________．答案5热点题型分析真题自检感悟专题作业解析如图所示，由于点P在双曲线右支上，则由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，热点题型分析真题自检感悟专题作业又3|PF1|＝4|PF2|，解得|PF1|＝8a，|PF2|＝6a，则由(OP→＋OF2→)·PF2→＝0，即(OP→＋OF2→)·(OF2→－OP→)＝0，则有|OP→|2＝|OF2→|2，则在△PF1F2中，|OP|＝|OF2|＝|OF1|，所以∠F1PF2＝90°，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即有64a2＋36a2＝4c2，c＝5a，故e＝ca＝5.2真题自检感悟PARTTWO热点题型分析真题自检感悟专题作业1.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→答案A热点题型分析真题自检感悟专题作业解析根据向量的运算法则，可得EB→＝AB→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－14(AB→＋AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.热点题型分析真题自检感悟专题作业2.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值是()A.－2B．－32C．－43D．－1答案B热点题型分析真题自检感悟专题作业解析解法一：(解析法)建立坐标系如图1所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，3)，B(－1，0)，C(1,0)．热点题型分析真题自检感悟专题作业设P点的坐标为(x，y)，则PA→＝(－x，3－y)，PB→＝(－1－x，－y)，PC→＝(1－x，－y)，∴PA→·(PB→＋PC→)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－3y)＝2x2＋y－322－34≥2×－34＝－32.当且仅当x＝0，y＝32时，PA→·(PB→＋PC→)取得最小值，最小值为－32.故选B.热点题型分析真题自检感悟专题作业解法二：(几何法)如图2所示，PB→＋PC→＝2PD→(D为BC的中点)，则PA→·(PB→＋PC→)＝2PA→·PD→.要使PA→·PD→最小，则PA→与PD→方向相反，即点P在线段AD上，则(2PA→·PD→)min＝－2|PA→||PD→|，问题转化为求|PA→|·|PD→|的最大值．热点题型分析真题自检感悟专题作业又|PA→|＋