2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆课件

专题五解析几何第1讲直线与圆高考总复习大二轮数学[考情考向·高考导航]对于直线的考查，主要是求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离等问题．一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程，用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；对于直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，含参数问题为命题热点，一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，涉及圆的解答题有逐渐强化的趋势．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2，32]D．[22，32]解析：A[由已知A(－2,0)，B(0，－2)．圆心(2,0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝|2＋0＋2|2＝22，又圆的半径为2.∴点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为2，最大值为32，又|AB|＝22.∴△ABP面积的最小值为Smin＝12×22×2＝2，最大值为Smax＝12×22×32＝6.]2．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：C[本题考查直线与圆的位置关系．点P(cosθ，sinθ)是单位圆x2＋y2＝1上的点，直线x－my－2＝0过定点(2,0)，当直线与圆相离时，d可取到最大值，设圆心到直线的距离为d0，d0＝21＋m2，d＝d0＋1＝21＋m2＋1，可知，当m＝0时，dmax＝3，故选C.]3．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则：F＝0，1＋1＋D＋E＋F＝0，4＋0＋2D＋F＝0，解得D＝－2，E＝0，F＝0，则圆的方程为x2＋y2－2x＝0.答案：x2＋y2－2x＝04．(2018·全国Ⅰ卷)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：圆方程可化为x2＋(y＋1)2＝4，∴圆心为(0，－1)，半径r＝2，圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝22＝2，∴|AB|＝222－d2＝24－2＝22.答案：22[主干整合]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为－D2，－E2，半径为r＝D2＋E2－4F2.4．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．热点一直线的方程及其应用[例1](1)(2020·大连模拟)“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]A[由ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行，得a(a－1)＝2，∴a＝－1，a＝2.经检验当a＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的充要条件．](2)(2020·厦门模拟)过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程为________________．[解析]由x－2y＋3＝0，2x＋3y－8＝0，得x＝1，y＝2.所以l1与l2的交点为(1,2)，当所求直线的斜率不存在时，所求直线为x＝1，显然不符合题意．故设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0,4)到所求直线的距离为2，所以2＝|－2－k|1＋k2，所以k＝0或k＝43.所以所求直线的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.[答案]y＝2或4x－3y＋2＝0(3)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________．②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．[解析]设，线段A1B1的中点为E1(x1，y1)，则Q1＝＝2y1.因此，要比较Q1，Q2，Q3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点纵坐标的大小，作图(图略)比较知Q1最大．又p1＝＝2y12x1＝y1x1＝y1－0x1－0，其几何意义为线段A1B1的中点E1与坐标原点连线的斜率，因此，要比较p1，p2，p3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p2最大．[答案]①Q1②p2求解直线方程应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在．(2020·宁德模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，则此直线方程为____________．解析：过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点分别为0，103，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，其图象与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有①yA＝kxA＋1，xA－3yA＋10＝0，②yB＝kxB＋1，2xB＋yB－8＝0.由①解得xA＝73k－1，由②解得xB＝7k＋2.因为点M平分线段AB，所以xA＋xB＝2xM，即73k－1＋7k＋2＝0，解得k＝－14.故所求的直线方程为y＝－14x＋1，即x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝0热点二圆的方程及应用[例2](1)(山东高考题)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________________．[解析]设圆C的圆心为(a，b)(b＞0)，由题意得a＝2b＞0，且a2＝(3)2＋b2，解得a＝2，b＝1.∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.[答案](x－2)2＋(y－1)2＝4(2)(2019·唐山三模)已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是____________．[解析]依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心－k2，0位于直线x－y－1＝0上，于是有－k2－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB|＝22，直线AB的方程是x－2＋y2＝1，即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P到直线AB的距离的最大值是322＋1，△PAB面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2.[答案]3＋2求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，求出圆的基本量：圆心坐标和半径．如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直，设圆的半径为r，弦长为|AB|，弦心距为d，则r2＝d2＋|AB|22等．(2)代数法：设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算较简捷．(1)(2019·临沂三模)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x－5y－4＝0相切，则圆M的标准方程为________________．解析：由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a＞－2，半径为r，得a＋22＋32＝r2，|2a－4|4＋5＝r，解得满足条件的一组解为a＝－1，r＝2，所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.答案：(x＋1)2＋y2＝4(2)(2020·马鞍山模拟)圆心在曲线y＝2x(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的标准方程为________________．解析：由条件设圆心坐标为a，2a(a＞0)，又因为圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝r＝2a＋2a＋15≥4＋15＝5，当且仅当2a＝2a，即a＝1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝5热点三直线(圆)与圆的位置关系直观想象素养直观想象——圆的方程应用中的核心素养以学过的圆的相关知识为基础，借助曲线的方程感知一类问题共同特征的“直观想象”，然后利用“直观想象”解决问题.[例3](1)(2020·湖北八校联考)过点(2，0)作直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．[解析]令P(2，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝12|OA|·|OB|·sin∠AOB＝12sin∠AOB≤12，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝22，于是sin∠OPH＝|OH||OP|＝222＝12，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－33.[答案]－33(2)如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.①当|MN|＝219时，则直线l的方程为____________．②若BQ→·BP→为定值，则这个定值为________．[解析]①设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝|－1＋4＋7|5＝25.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.a．当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；b．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|＝219，∴|AQ|＝20－19＝1.由|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.②∵AQ⊥BP，∴AQ→·BP→＝0.∵BQ→·BP→＝(BA→＋AQ→)·BP→＝BA→·BP→＋AQ→·BP→＝BA→·BP→.当直线l与x轴垂直时，得P－2，－25.则BP→＝0，－52，又BA→＝(1,2)，∴B