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第五章曲线运动核心素养微课(一)课题一小船渡河问题•小船在有一定流速的水中渡河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动速度v水)和船相对水的运动(即船在静水中的速度v船)，船的实际运动是合运动(v合)。•船的航行方向即船头指向，是分运动；船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。情况图示说明渡河时间最短当船头方向垂直于河岸时，小船渡河时间最短，最短时间为tmin＝dv船情况图示说明当v水＜v船时，如果满足v水－v船cosθ＝0，合速度垂直于河岸，小船渡河位移最短(等于河宽d)。此时渡河时间t＝dv合＝dv船sinθ渡河位移最短当v水≥v船时，如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，小船渡河位移最短，最短渡河位移为Smin＝dv水v船此时渡河时间t＝dv船sinθ•如图所示，小船在静水中的速度为v1＝4m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100m，水流速度为v2＝3m/s，方向与河岸平行。典例1(1)欲使船以最短时间渡河，航向怎样？最短时间是多少？船发生的位移有多大？(2)欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？渡河所用时间是多少？•解题指导：(1)小船渡河用时最短与位移最小是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最小。•(2)求渡河的最小位移时，要先弄清船速与水速的大小关系，不要盲目地认为最小渡河位移一定等于河的宽度。•(3)渡河时间与水流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。解析：(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用的时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸向对岸渡河时，所用时间最少，则最短时间为t＝dv1＝1004s＝25s。如图所示，当船到达对岸时，船沿河流方向也发生了位移，由直角三角形的几何知识可得，船的位移为l＝d2＋x2，由题意可得x＝v2t＝3×25m＝75m,代入得l＝125m。(2)分析可知，当船的实际移动速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝4m/s，大于水流速度v2＝3m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸。如图所示，设船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cosθ＝v2，cosθ＝v2v1＝34，θ＝arccos34，故船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成的夹角为arccos34，所用的时间为t＝dv1sinθ＝1004×74s＝10077s•答案：见解析•〔对点训练1〕如图某人游珠江，他以一定速度面部始终垂直河岸向对岸游去。江中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是()•A．水速大时，路程长，时间长•B．水速大时，路程长，时间短•C．水速大时，路程长，时间不变•D．路程、时间与水速无关C解析：游泳者相对于岸的速度为他相对于水的速度和水流速度的合速度，水流速度越大，其合速度与岸的夹角越小，路程越长，但过河时间t＝dv人，与水速无关，故A、B、D均错误，C正确。课题二“牵连”速度问题•“牵连物体”是指物拉绳(杆)或绳(杆)拉物问题(下面为了方便，统一说“绳”)。•分解原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳和平于绳的两个分量，根据沿绳方向的分速度大小与绳上各点的速率相同求解。•(1)合速度方向：物体实际运动方向。•(2)分速度方向：①沿绳方向：使绳伸(缩)；②垂直于绳方向：使绳转动。•(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时()典例2A．人拉绳行走的速度为vcosθB．人拉绳行走的速度为vcosθC．船的加速度为Fcosθ－FfmD．船的加速度为F－FfmBC•解题指导：对于这种绳物模型(绳子连结着物体相互作用问题)中，绳端速度分解通常的原则是：①分解实际速度(合运动的速度)；②两个分速度：一个沿绳子方向，一个与绳垂直。解析：船运动的速度是沿绳子收缩方向的速度和绕定滑轮的摆动速度的合速度。如图所示根据平行四边形定则有，v人＝vcosθ；故A错误，B正确。对小船受力分析，如图所示，根据牛顿第二定律，有：Fcosθ－Ff＝ma因此船的加速度大小为：a＝Fcosθ－Ffm，故C正确，D错误；故选BC。•〔对点训练2〕(2019·云南省玉溪市元江一中高一下学期月考)如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为()•A．vsinθ•B．v/cosθ•C．vcosθ•D．v/sinθC•解析：将M物体的速度按图示两个方向分解，如图所示，得绳子速率为：v绳＝vcosθ；而绳子速率等于物体m的速率，则有物体m的速率为：vm＝v绳＝vcosθ，故选C。•1．(2018·湖南省会同一中高一下学期期中)唐僧、悟空、沙僧和八戒师徒四人想划船渡过一条宽150m的河，他们在静水中划船的速度为5m/s，现在他们观察到河水的流速为4m/s，对于这次划船过河，他们有各自的看法，其中正确的是()•A．唐僧说：我们要想到达正对岸就得朝着正对岸划船•B．悟空说：我们要想节省时间就得朝着正对岸划船•C．沙僧说：我们要想少走点路就得朝着正对岸划船•D．八戒说：今天这种情况我们是不可能到达正对岸的B解析：因为划船的速度大于流水的速度，所以将船头偏向上游划船可能到达正对岸，故ACD错误；朝着正对岸划船渡河的时间最短，t＝dv划(d为河宽)，故B正确。2．(2019·山东省潍坊市七中高一下学期检测)如图，在一棵大树下有张石凳子，上面水平摆放着一排香蕉。小猴子为了一次拿到更多的香蕉，它紧抓住软藤摆下，同时树上的老猴子向上拉动软藤的另一端，使得小猴子到达石凳子时保持身体水平向右方向运动。已知老猴子以恒定大小的速率v拉动软藤，当软藤与竖直方向成θ角时，小猴子的水平运动速度大小为()A．vcosθB．vsinθC．vcosθD．vsinθD解析：由题意知，小猴子沿绳子方向的速度等于老猴子拉绳子的速度，如图所示，小猴子沿水平方向的速度为v′，即v＝v′sinθ，所以小猴子沿水平方向的运动速度v′＝vsinθ，D正确。•3．在一次漂流探险中，探险者驾驶摩托艇想上岸休息，江岸是平直的，江水沿江向下流速为v，摩托艇在静水中航速为u，探险者离岸最近点O的距离为d。如果探险者想在最短的时间内靠岸，则摩托艇登陆的地点离O的距离为多少？答案：vud解析：如果探险者想在最短的时间内靠岸，摩托艇的船头应垂直于河岸，即u垂直于河岸，如图所示，则探险者运动的时间为t＝du，那么摩托艇登陆的地点离O的距离为x＝vt＝vud