搜索
第五章曲线运动第五节向心加速度•素养目标定位※理解向心加速度的概念，知道向心加速度和线速度、角速度的关系※掌握向心加速度的公式，能用公式进行有关计算•素养思维脉络课前预习反馈•1．实例分析•(1)地球绕太阳做近似的匀速圆周运动，地球受到________的引力，方向由地球球心指向________中心。•(2)光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，小球受到的力有重力、桌面的__________、细线的________，其中________和__________在竖直方向上平衡，拉力总是指向________。•2．结论猜测•一切做匀速圆周运动的物体所受的合力及其加速度均指向________。知识点1圆周运动的实例分析太阳太阳支持力拉力重力支持力圆心圆心•1．定义：做匀速圆周运动的物体，加速度指向________，这个加速度称为向心加速度。•2．大小：an＝________或an＝______•3．方向：时刻指向圆心，始终与速度方向________，故它只改变速度的________，而不改变速度的________。•4．物理意义：描述圆周运动____________改变快慢的物理量。知识点2向心加速度圆心v2/rrω2垂直方向大小速度方向辨析思考『判一判』(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变。()(2)匀速圆周运动是匀变速运动。()(3)匀速圆周运动的加速度的大小不变。()(4)根据a＝v2r知加速度a与半径r成反比。()(5)根据a＝ω2r知加速度a与半径r成正比。()××√×ו『选一选』•如图所示，跷跷板的支点位于板的中点，A、B是板的两个端点，在翘动的某一时刻，甲、乙两个小孩的线速度大小分别为v甲、v乙，角速度大小分别为ω甲、ω乙，向心加速度大小分别为a甲、a乙，则()•A．v甲＝v乙，ω甲ω乙，a甲＝a乙•B．v甲v乙，ω甲＝ω乙，a甲a乙•C．v甲＝v乙，ω甲＝ω乙，a甲＝a乙•D．v甲v乙，ω甲ω乙，a甲a乙•解析：由题意知甲、乙的角速度相等，由图看出r甲r乙，根据v＝ωr得线速度v甲v乙，根据a＝ω2r得a甲a乙，所以B选项正确。B•『想一想』•汽车以一定的速度在草原上沿直线匀速行驶，突然发现正前方有一河沟，为了尽可能地避免掉进河沟，通常有急转弯或急刹车两种方式。假设汽车急转弯做匀速圆周运动，急刹车做匀减速直线运动，且转弯时的向心加速度大小等于刹车时的加速度，请问司机是紧急刹车好，还是马上急转弯好？•答案：刹车好解析：设汽车匀速行驶时的速度大小为v，避免掉进河沟采取措施后的加速度大小为a，若汽车急转弯，则有a＝v2R，转弯半径最小为R＝v2a；若汽车急刹车，则有v2＝2ax，汽车前进的最小距离x＝v22a，因为Rx，所以司机应紧急刹车才是明智之举。课内互动探究探究一对向心加速度的理解•如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，小球绕细绳的另一端在水平面内做匀速圆周运动，请思考：1•(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？•(2)向心加速度改变物体的速度大小吗？•提示：(1)变化；存在向心加速度；•(2)不改变。•1．向心加速度的物理意义•描述线速度改变的快慢，只改变线速度方向，不改变其大小。•2．向心加速度的方向•总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变。不论加速度an的大小是否变化，an的方向总是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。3．变速圆周运动的加速度对于变速圆周运动，如图所示，物体加速度的方向不再指向圆心，但其中一个分加速度的方向指向圆心，为向心加速度，仍满足公式an＝v2r＝ω2r，其作用仍然是改变速度的方向。•特别提醒：无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心。•(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是()•A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直•B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小•C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心•D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心•解题指导：解该类问题的关键是分清两种圆周运动加速度的特点。匀速圆周运动的加速度就是向心加速度；变速圆周运动的加速度不是指向圆心的。ABD典例1•〔对点训练1〕(2018·宁夏银川唐徕国民中学高一下学期月考)如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么()•A．加速度为零•B．加速度恒定•C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心•D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心•解析：由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。D探究二向心加速度公式的理解和应用•自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它的边缘有三个点A、B、C，如图所示。在自行车正常骑行时2•(1)A、B两点的向心加速度谁的较大？这两点的向心加速度与它们的半径成正比还是反比？•(2)B、C两点的向心加速度谁的较大？这两点的向心加速度与它们的半径成正比还是反比？•提示：(1)B点的向心加速度大；反比；•(2)C点的向心加速度大；正比。1．向心加速度公式：(1)基本式：①an＝v2r；②an＝ω2r。(2)拓展式：①an＝4π2rT2；②an＝ωv。•2．加速度与半径的关系•加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定，an与r成反比；若角速度(或周期、转速)一定，an与r成正比。如图所示。•特别提醒：(1)以上公式也适用于变速圆周运动中向心加速度的计算，但计算得到的只是沿径向的加速度，不包括沿切向的加速度。•(2)不同的表达式中，an与同一物理量间有不同的关系，所以在讨论an与其中一个量的关系时，要根据不变量选择合适的公式讨论。典例2如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转轴的距离是半径的13。当大轮边缘上P点的向心加速度是12m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度各为多大？•解题指导：先根据皮带传动或同轴转动分析出研究点的线速度关系或角速度关系，然后再利用向心加速度公式分析。解析：同一轮子上的S点和P点角速度相同：ωS＝ωP由向心加速度公式a＝rω2可得：aSaP＝rSrP所以aS＝aP·rSrP＝12×13m/s2＝4m/s2又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘各点线速度大小相等：vP＝vQ由向心加速度公式a＝v2r可得：aPaQ＝rQrP所以aQ＝aP·rPrQ＝12×21m/s2＝24m/s2•答案：aS＝4m/s2aQ＝24m/s2•〔对点训练2〕如图所示是上海锦江乐园中的“摩天轮”，它高108m，直径为98m，每次可乘坐378人，每转一圈25min。摩天轮转动时，某一轿厢内坐有一位游客，则该游客随轮一起匀速转动的周期为__________s，向心加速度大小为______________m/s2。15008.6×10－4解析：T＝25×60s＝1500s，a＝4π2rT2＝8.6×10－4m/s2核心素养提升向心加速度的认识误区1．误认为匀速圆周运动的向心加速度大小恒定不变，所以是匀变速运动，实际上，做匀速圆周运动物体的加速度是时刻变化的。2．根据公式an＝v2r，误认为an与v2成正比，与半径r成反比；根据an＝ω2r，误认为an与ω2成正比，与r成正比。实际上，只有在半径r确定时才能判断an与v或an与ω的关系。3．误认为做圆周运动的加速度一定指向圆心。实际上，只有做匀速圆周运动的物体其加速度才指向圆心，做变速圆周运动的物体存在一个切向加速度，所以不指向圆心。•(多选)自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，它们的边缘上有三个点A、B、C。向心加速度随半径变化图像如图所示，可以知道()•A．A、B两点加速度关系满足甲图线•B．A、B两点加速度关系满足乙图线•C．B、C两点加速度关系满足甲图线•D．B、C两点加速度关系满足乙图线AD案例解析：A、B两点线速度相等，根据an＝v2r可知选项A正确，B错误；B、C两点角速度相等，根据an＝ω2r可知选项C错误，D正确。•方法提升：向心加速度的每个公式都涉及三个物理量的变化关系，所以必须在某一物理量不变时，才可以判断另外两个物理量之间的关系。在v一定的情况下，向心加速度an与R成反比；而在ω一定的情况下，向心加速度an与R成正比。