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第七章机械能守恒定律阶段核心素养整合核心素养脉络构建核心素养整合提升一、功的正、负的判断和计算1．如何判断力做功的正、负(1)利用功的公式W＝Flcosα判断，此方法适用于判断恒力做功的情况。(2)利用力F与物体速度v之间的夹角情况来判断。设其夹角为α，若0≤απ2，则力F做正功；若α＝π2，则力F不做功；若π2α≤π，则力F做负功。此方法适用于曲线运动中功的分析。•(3)从能量角度分析，此方法既适用于恒力做功，也适用于变力做功。根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。如果系统机械能增加，说明外界对系统做正功；如果系统机械能减少，说明外界对系统做负功。•2．功的计算方法•(1)定义法求功：利用公式W＝Flcosα求功。•(2)利用功率求功：若牵引力做功时发动机的功率P一定，则在时间t内做的功可用W＝Pt来求。•(3)根据功能关系求功•根据以上功能关系，若能求出某种能量的变化，就可以求出相应的功。•如图所示，质量m＝1.0kg的物体从半径R＝5m的圆弧的A端，在拉力F作用下从静止沿圆弧运动到顶点B。圆弧AB在竖直平面内，拉力F的大小为15N，方向始终与物体的运动方向一致。若物体到达B点时的速度v＝5m/s，圆弧AB所对应的圆心角θ＝60°，BO边在竖直方向上，取g＝10m/s2。在这一过程中，求：•(1)重力mg做的功；•(2)拉力F做的功；•(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功；•(4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功。典例1解题指导：重力做功的特点―→恒力做功的求法―→用功能关系求变力的功解析：(1)重力mg做的功WG＝－mgR(1－cosθ)＝－25J。(2)因拉力F大小不变，方向始终与物体的运动方向相同，所以WF＝Fs＝F×π3R≈78.5J。(3)支持力FN始终与物体的运动方向垂直，所以WFN＝0。(4)由动能定理知WF＋WG＋Wf＝12mv2－0，得摩擦力Ff做的功WFf＝12mv2－WF－WG＝12×1.0×52J－78.5J－(－25)J＝－41J。•答案：(1)－25J(2)78.5J(3)0(4)－41J•二、动能定理的理解及应用•1．对动能定理的理解•(1)W总＝W1＋W2＋W3＋…是包含重力在内的所有力做功的代数和，若合外力为恒力，也可这样计算：W总＝F合lcosα。•(2)动能定理是计算物体位移或速率的简捷公式，当题目中涉及位移时可优先考虑动能定理。•(3)做功的过程是能量转化的过程，动能定理表达式中的“＝”的意义是一种因果联系的数值上相等的符号，它并不意味着“功就是动能增量”，也不意味着“功转变成了动能”，而是意味着“功引起物体动能的变化”。•(4)动能定理公式两边每一项都是标量，因此动能定理是一个标量方程。•2．应用动能定理的注意事项•(1)明确研究对象的研究过程，找出始、末状态的速度。•(2)对物体进行正确的受力分析(包括重力、弹力等)，明确各力做的功大小及正、负情况。•(3)有些力在运动过程中不是始终存在，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况，分别对待。•(4)若物体运动过程中包含几个不同的物理过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一个整体过程，列出动能定理求解。典例2(2019·山东省实验中学高一下学期检测)如图是放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成：水平直轨AB，半径分别为R1＝1.0m和R2＝3.0m的弧形轨道，倾斜直轨CD长为L＝6m，AB、CD与两圆形轨道相切，其中倾斜直轨CD部分表面粗糙，动摩擦因数为μ＝16，其余各部分表面光滑。一质量为m＝2kg的滑环(套在滑轨上)，从AB的中点E处以v0＝10m/s的初速度水平向右运动。已知θ＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，求：•(1)滑环第一次通过O1的最高点A处时对轨道的作用力大小和方向；•(2)滑环通过O1最高点A的次数；•(3)滑环在CD段所通过的总路程。•解题指导：认真分析滑环的运动过程及受力情况，根据牛顿运动定律和动能定理求解。解析：(1)滑环由E运动到A：由动能定理知Wf＝ΔEk则－μmgLcosθ＝12mv2A－12mv20得：vA＝221m/s由vAgR1得FN＋G＝mv2AR1得：FN＝148N由牛顿第三定律FN′＝FN＝148N方向竖直向下(2)滑环经过CD段时克服摩擦力做功Wf＝－μmgLcosθ经过A点的速度最小可为零，通过A的次数N＝12mv20|Wf|＝6.25取N＝6次(3)滑环最终以F为中心来回运动，最高点到达D。设滑环在CD段通过的路程为s根据动能定理：－fs＋mgR2(1＋cosθ)＝0－12mv20f＝μmgcosθ解得s＝78m•答案：(1)148N方向竖直向下(2)6次(3)78m•三、机械能守恒的判断及应用•1．机械能是否守恒的判断•(1)物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等，机械能不变。•(2)只有弹簧弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化，如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。•(3)系统受重力和弹簧的弹力，只有重力和弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能不变。•(4)除受重力(或弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零，如物体在沿斜面拉力F的作用下沿斜面向下运动，其拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，其机械能不变。•只要满足上述条件之一，机械能一定守恒。•2．应用机械能守恒定律的解题思路•(1)明确研究对象，即哪些物体参与了动能和势能的相互转化，选择合适的初态和末态。•(2)分析物体的受力并分析各个力做功，看是否符合机械能守恒条件，只有符合条件才能应用机械能守恒定律。•(3)正确选择守恒定律的表达式列方程，可对分过程列式，也可对全过程列式。•(4)求解结果并说明物理意义。•如图所示，光滑的水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R＝0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R。用质量m＝0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，弹簧和物块具有的弹性势能为Ep，释放后物块从桌面右边缘D点飞离桌面后，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道。g＝10m/s2，求：•(1)Ep的大小；•(2)判断m能否沿圆轨道到达M点。典例3•解题指导：物块在整个运动过程中，只有弹簧弹力和重力做功，机械能守恒。解析：(1)设物块由D点以初速度vD做平抛运动，落到P点时其竖直速度为vy，有v2y＝2gRvyvD＝tan45°，得vD＝4m/s物块从C→D由机械能守恒得Ep＝Ek＝12mv2D＝12×0.2×42J＝1.6J(2)设物块能沿轨道到达M点，其速度为vM，从C→M整个过程由机械能守恒定律得Ep＝12mv2M＋mgR·cos45°代入数据解得vM≈2.2m/sgR≈2.8m/s所以物块不能到达M点。•答案：(1)1.6J(2)不能到达M点实战演练触及高考•动能定理、机械能守恒定律的应用是高考的重点考查内容之一，考查形式多样，考查角度多变，大部分试题与牛顿定律、圆周运动、平抛运动、航空航天及电磁学知识相联系，试题设计思路隐蔽，过程复杂，且与生产、生活、现代科技相联系，综合性强，难度较大。•一、高考真题探析•(2019·全国卷Ⅱ，18)(多选)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零点，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度取10m/s2。由图中数据可得()•A．物体的质量为2kg•B．h＝0时，物体的速率为20m/s•C．h＝2m时，物体的动能Ek＝40J•D．从地面至h＝4m，物体的动能减少100JAD典例•解题指导：(1)从图像中可获取的信息是：物体上升的最大高度h＝4m；物体在最高点的势能Ep＝80J，动能Ek＝0；物体的初始动能Ek＝100J；物体在上升过程中机械能的减少量ΔE＝20J。•(2)由获取的有用信息结合动能、势能、动能定理，综合分析解答。解析：A对：由于Ep＝mgh，所以Ep与h成正比，斜率k＝mg，由图像得k＝20N，因此m＝2kg。B错：当h＝0时，Ep＝0，E总＝Ek＝12mv20，因此v0＝10m/s。C错：由图像知h＝2m时，E总＝90J，Ep＝40J，由E总＝Ek＋Ep得Ek＝50J。D对：h＝4m时，E总＝Ep＝80J，即此时Ek＝0，即上升4m距离，动能减少100J。•二、临场真题练兵•1．(2019·全国卷Ⅲ，17)从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用。距地面高度h在3m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示。重力加速度取10m/s2。该物体的质量为()•A．2kg•B．1.5kg•C．1kg•D．0.5kgC•解析：画出运动示意图，设阻力为f，据动能定理知•A→B(上升过程)：EkB－EkA＝－(mg＋f)h•C→D(下落过程)：EkD－EkC＝(mg－f)h•整理以上两式得：mgh＝30J，解得物体的质量m＝1kg。•选项C正确。•2．(2019·天津卷，1)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的()A．周期为4π2r3GMB．动能为GMm2RC．角速度为Gmr3D．向心加速度为GMR2A解析：嫦娥四号绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，有GMmr2＝mω2r＝mv2r＝m4π2T2r＝ma解得ω＝GMr3，v＝GMr，T＝4π2r3GM，a＝GMr2故A对C、D错；Ek＝12mv2＝GMm2r，故B错。•3．(2018·天津卷，2)滑雪运动深受人民群众喜爱。某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中()•A．所受合外力始终为零•B．所受摩擦力大小不变•C．合外力做功一定为零•D．机械能始终保持不变C•解析：运动员从A点滑到B点的过程中速率不变，则运动员做匀速圆周运动。A错：运动员做匀速圆周运动，合外力指向圆心。•B错：如图所示，运动员受到的沿圆弧切线方向的合力为零，即Ff＝mgsinα，下滑过程中α减小，sinα变小，故摩擦力Ff变小。C对：由动能定理知，匀速下滑动能不变，合外力做功为零。D错：运动员下滑过程中动能不变，重力势能减小，机械能减小。•4．(2019·江苏卷，8)(多选)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止。物块向左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上述过程中()A．弹簧的最大弹力为μmgB．物块克服摩擦力做的功为2μmgsC．弹簧的最大弹性势能为μmgsD．物块在A点的初速度为2μgsBC解析：A错：物块向左运动压缩弹簧，弹簧最短时，物块具有向右的加速度，弹力大于摩擦力，即Fμmg。B对：物块从开始运动至最后回到A点过程，由功能关系可知Wf＝2μmgs；C对：物块自最左侧运动至A点过程，由能量守恒知Ep＝μmgs；D错：整个过程由动能定理：－2μmgs＝0－12mv20，得v0＝4μgs。•5．(2019·天津卷，10)完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功。航母上的舰载机采用滑跃式起飞，其甲板是