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第五章机械能机械能守恒定律栏目导航123板块一考点突破板块二素养培优板块三跟踪检测考点突破记要点、练高分、考点通关板块一考点一机械能守恒的理解与判断——自主练透|记要点|1．机械能守恒的条件只有重力或弹力做功，可以从以下四个方面进行理解：(1)物体只受重力或弹力作用．(2)存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功．(3)其他力做功，但做功的代数和为零．(4)存在相互作用的物体组成的系统只有动能和势能的相互转化，无其他形式能量的转化．2．机械能守恒的判断方法(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化．(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．|练高分|1．(2019届兰州模拟)以下情形中，物体的机械能一定守恒的是()A．下落的物体受到空气阻力的作用B．物体以一定初速度在粗糙的水平面上滑动C．一物体匀速上升D．物体沿光滑斜面自由下滑解析：选D物体下落的过程中受到空气阻力的作用，且阻力做负功，故物体的机械能不守恒，A错误；物体以一定初速度在粗糙的水平面上滑动时势能不变，动能减小，机械能不守恒，B错误；物体匀速上升过程动能不变，势能增大，机械能不守恒，C错误；物体沿光滑斜面自由下滑过程中只有重力做功，机械能守恒，D正确．2.(2018年天津卷)滑雪运动深受人民群众喜爱．某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中()A．所受合外力始终为零B．所受摩擦力大小不变C．合外力做功一定为零D．机械能始终保持不变解析：选C因为运动员做曲线运动，所以合力一定不为零，A错误；运动员受力如图所示，重力垂直曲面的分力与曲面对运动员的支持力的合力充当向心力，故有FN－mgcosθ＝mv2R⇒FN＝mv2R＋mgcosθ，运动过程中速率恒定，且θ在减小，所以曲面对运动员的支持力越来越大，根据f＝μFN可知摩擦力越来越大，B错误；运动员运动过程中速率不变，质量不变，即动能不变，动能变化量为零，根据动能定理可知合外力做功为零，C正确；因为克服摩擦力做功，机械能不守恒，D错误．3.如图所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)()A．在任一时刻，两球动能相等B．在任一时刻，两球加速度相等C．在任一时刻，系统动能与重力势能之和保持不变D．在任一时刻，系统机械能是不变的解析：选D细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对P、Q两球受力分析可知aPaQ，在任一时刻，两球的动能不一定相等，选项A、B错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变化，系统的动能与重力势能之和发生变化，选项C错误；Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，选项D正确．考点二单个物体的机械能守恒——师生共研|记要点|1．机械能守恒的三种表达式对比守恒角度转化角度转移角度表达式E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA增＝ΔEB减物理意义系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等注意事项应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题2.求解单个物体机械能守恒问题的基本思路(1)选取研究对象——物体．(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能．(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解．|析典例|【例】(2019届宜春摸底)如图所示，竖直平面内的轨道由一半径为4R、圆心角为150°的圆弧形光滑滑槽C1和两个半径为R的半圆形光滑滑槽C2、C3，以及一个半径为2R的半圆形光滑圆管C4组成，C4内径远小于R.C1、C2、C3、C4各衔接处平滑连接．现有一个比C4内径略小的、质量为m的小球，从与C4的最高点H等高的P点以一定的初速度v0向左水平抛出后，恰好沿C1的A端点沿切线从凹面进入轨道．已知重力加速度为g.求：(1)小球在P点开始平抛的初速度v0的大小；(2)小球能否依次通过C1、C2、C3、C4各轨道而从I点射出？请说明理由；(3)小球运动到何处，轨道对小球的弹力最大？最大值是多大？[解析](1)小球从P到A，竖直方向有h＝2R＋4Rsin30°＝4R由平抛运动规律可得vy2＝2gh在A点，由速度关系得tan60°＝vyv0解得v0＝26gR3.(2)若小球能过D点，则在D点的速度满足vgR小球从P到D由机械能守恒定律得12mv02＋6mgR＝12mv2＋5mgR解得v＝14gR3若小球能过H点，则H点速度满足vH0小球从P到H时，机械能守恒，H点的速度等于P点的初速度，为26gR30综上所述小球能依次通过C1、C2、C3、C4各轨道从I点射出．(3)小球在运动过程中，轨道给小球的弹力最大的点只会在圆轨道的最低点，B点和F点都有可能．小球从P到B由机械能守恒定律得12mv02＋6mgR＝12mvB2在B点轨道给小球的弹力NB满足NB－mg＝mvB24R解得NB＝143mg小球从P到F由机械能守恒定律得12mv02＋6mgR＝12mvF2＋3mgR在F点轨道给小球的弹力NF满足NF－mg＝mvF2R联立解得NF＝293mg比较可知，F点轨道对小球的弹力最大，为293mg.[答案](1)26gR3(2)见解析(3)F点293mg|反思总结|(1)列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同．(2)应用机械能守恒定律能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同．|练高分|1.(2019届安徽联考)如图所示，质量为m的小球，用OB和O′B两根轻绳吊着，两轻绳与水平天花板的夹角分别为30°和60°，这时OB绳的拉力大小为F1，若烧断O′B绳，当小球运动到最低点C时，OB绳的拉力大小为F2，则F1∶F2等于()A．1∶1B．1∶2C．1∶3D．1∶4解析：DO′B烧断前，小球处于平衡状态，OB绳的拉力大小F1＝mgcos60°；O′B烧断后，小球摆动到C点过程中机械能守恒，mgl(1－cos60°)＝12mv2，在最低点C时有F2－mg＝mv2l，解得F2＝2mg.所以F1∶F2＝1∶4，选项D正确．2.(2017年全国卷Ⅱ)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)()A.v216gB.v28gC.v24gD.v22g解析：选B设小物块的质量为m，滑到轨道上端时的速度为v1.小物块上滑过程中，机械能守恒，有12mv2＝12mv12＋2mgR①小物块从轨道上端水平飞出，做平抛运动，设水平位移为x，下落时间为t，有2R＝12gt2②x＝v1t③联立①②③式整理得x2＝v22g2－4R－v22g2可得x有最大值v22g，对应的轨道半径R＝v28g.故选B.3.(2018届湖南衡阳期末)如图所示，一个质量为0.6kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)．已知圆弧的半径R＝0.6m，θ＝60°，小球到达A点时的速度vA＝8m/s.g取10m/s2，求：(1)小球做平抛运动的初速度v0；(2)P点与A点的高度差；(3)小球刚好能到达圆弧最高点C，求此过程小球克服摩擦力所做的功．解析：(1)由题意知小球到A点的速度vA沿曲线上A点的切线方向，对速度分解如图所示：小球做平抛运动，由平抛运动规律得v0＝vx＝vAcosθ＝4m/s.(2)小球由P至A的过程由动能定理得mgh＝12mvA2－12mv02解得h＝2.4m.(3)小球恰好经过C点时，在C点由牛顿第二定律得mg＝mvC2R解得vC＝6m/s小球由A至C过程由动能定理得－mg(Rcosθ＋R)－Wf＝12mvC2－12mvA2解得Wf＝12J.答案：(1)4m/s(2)2.4m(3)12J考点三多个物体的机械能守恒——多维探究|记要点|多物体机械能守恒问题的分析方法(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程．(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系．(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式．|明考向|考向一轻绳连接的物体系统1．常见情景2．三点提醒(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等．(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系．(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒．【例1】(2019届哈尔滨六中检测)如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4m，现从静止释放圆环．不计定滑轮和空气的阻力，g取10m/s2，若圆环下降h＝3m时的速度v＝5m/s，则A和B的质量关系为()A.Mm＝3529B.Mm＝79C.Mm＝3925D.Mm＝1519[解析]圆环下降3m后的速度可以按如图所示分解，故可得vA＝vcosθ＝vhh2＋l2，A、B和绳子看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降h＝3m时，根据机械能守恒可得mgh＝MghA＋12mv2＋12MvA2，其中hA＝h2＋l2－l，联立可得Mm＝3529，故A正确．[答案]A考向二轻杆连接的物体系统1．常见情景2．三大特点(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒．【例2】如图所示，半径为r、质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的右边缘固定有一个质量为m的小球A，在O点正下方离O点r2处固定一个质量也为m的小球B，放开盘让其自由转动．(1)当A转动到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？(2)A球转到最低点时的线速度是多少？[解析](1)圆盘和A、B两球组成的系统机械能守恒，当A转动到最低点时，A球重力势能减少了mgr，B球重力势能增加了12mgr，故两球的重力势能之和减少量ΔEp减＝mgr－12mgr＝12mgr.(2)由于圆盘转动过程中，系统只有动能和重力势能相互转化，系统的机械能守恒，因此系统的重力势能的减少一定等于两球动能的增加．设A球转至最低点时，A、B的线速度分别为vA和vB，则12mgr＝12mvA2＋12mvB2.因A、B两球固定在同一圆盘上，转动过程中角速度相等，故线速度的关系为vA＝2vB，解得vA＝45gr.[答案](1)12mgr(2)45gr考向三轻弹簧连接的物体系统1．题型特点由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒．2．两点提醒(1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩．(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．