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第四章曲线运动万有引力与航天抛体运动栏目导航1234板块一双基巩固板块二考点突破板块三素养培优板块四跟踪检测双基巩固固双基、明易错、强化记忆板块一填一填|——知识体系一、平抛运动1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在____________作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g的____________曲线运动，其运动轨迹是____________.3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿____________；(2)只受__________作用．重力匀变速抛物线水平方向重力二、平抛运动的规律(如图所示)1．速度关系2．位移关系3．两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝____________.(2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的____________的反向延长线一定通过此时水平位移的____________，则x＝2OB.2tanα瞬时速度中点三、斜抛运动(说明：斜抛运动只作定性要求)1．定义将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在____________作用下的运动．2．性质加速度为重力加速度g的____________运动，轨迹是抛物线．3．研究方法斜抛运动可以看做水平方向的______________运动和竖直方向的____________运动的合运动．重力匀变速曲线匀速直线竖直上抛判一判|——易混易错(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．()(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化．()(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大．()(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长．()(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的．()(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．()(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的．()××××√√√记一记|——规律结论1．做平抛运动的物体，其落地时间完全由下落高度决定，与平抛速度大小无关．2．做平抛运动的物体，其水平位移由平抛初速度和下落高度共同决定.考点突破记要点、练高分、考点通关板块二考点一平抛运动的规律——自主练透|记要点|1．飞行时间：由t＝2hg知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．2．水平射程：x＝v0t＝v02hg，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．3．落地速度：v＝vx2＋vy2＝v02＋2gh，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝vyvx＝2ghv0，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关．4．速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示．|练高分|1．(2018届山师大附中模拟)以v0的速度水平抛出一物体，当其水平分位移与竖直分位移相等时，下列说法错误的是()A．瞬时速度的大小是5v0B．运动时间是2v0gC．竖直分速度大小等于水平分速度大小D．运动的位移是22v02g解析：选C根据平抛运动规律有，竖直方向：h＝12gt2，水平方向：x＝v0t，当其水平分位移与竖直分位移相等时，即x＝h，解得t＝2v0g，B正确；平抛运动竖直方向上的速度为vy＝gt＝g·2v0g＝2v0，与水平方向上的速度v0不相等，C错误；此时合速度的大小为5v0，A正确；由于此时的水平分位移与竖直分位移相等，所以x＝h＝v0t＝2v02g，所以此时运动的合位移的大小为22v02g，D正确．2．(2017年全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网，其原因是()A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大解析：选C发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h＝12gt2，可知两球下落相同距离h所用的时间是相同的，选项A错误；由vy2＝2gh可知，两球下落相同距离h时在竖直方向上的速度vy相同，选项B错误；由平抛运动规律，水平方向上，x＝vt，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，选项C正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D错误．3．(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是()A.小球水平抛出时的初速度大小为gttanθB．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D．若小球初速度增大，则θ减小解析：选AD小球落地时的竖直速度vy＝gt，因为速度与水平方向的夹角为θ，则有tanθ＝gtv0，得出v0＝gttanθ，A正确；小球的位移与水平方向夹角的正切值tanα＝12gt2v0t＝gt2v0，得出tanθ＝2tanα，而不是α＝θ2，B错误；小球平抛运动的时间由高度决定，与初速度无关，C错误；由tanθ＝gtv0可知，v0越大，θ越小，D正确．考点二与斜面关联的平抛运动——自主练透|记要点|1．与斜面相关的平抛运动，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况：(1)物体从空中抛出落在斜面上；(2)从斜面上抛出落在斜面上．在解答这类问题时，除了要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决．2．与斜面相关联的两类问题对比实例方法内容斜面求小球平抛时间总结分解速度水平vx＝v0竖直vy＝gt合速度v＝vx2＋vy2解：如图，vy＝gt，tanθ＝vxvy＝v0gt，故t＝v0gtanθ分解速度，构建速度三角形分解位移水平x＝v0t竖直y＝12gt2合位移x合＝x2＋y2解：如图，x＝v0t，y＝12gt2，而tanθ＝yx，联立得t＝2v0tanθg分解位移，构建位移三角形|练高分|1．(2018年全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和v2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的()A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍解析：选A两球都落在该斜面上，其位移与水平方向夹角相等设为α，其速度与水平方向夹角设为β，据tanβ＝2tanα，可知两球速度方向与水平方向夹角相等，据v＝vxcosβ可得v甲v乙＝vv2＝2，故选A.2.如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点，已知球拍与水平方向夹角θ＝60°，AB两点高度差h＝1m，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则球刚要落到球拍上时速度大小为()A．25m/sB．215m/sC．45m/sD.4315m/s解析：选C根据h＝12gt2得t＝2hg＝2×110s＝15s；竖直分速度：vy＝gt＝10×15＝20m/s，刚要落到球拍上时速度大小v＝vycos60°＝45m/s，C正确，A、B、D错误．3.(多选)(2019届重庆巴蜀中学月考)如图，斜面倾角θ＝37°，小球从斜面上的顶点P处以初速度v0水平抛出，刚好落在斜面中点处．现将小球以初速度2v0水平抛出，不计运动过程中的空气阻力，小球下落后均不弹起．已知重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则小球两次在空中运动过程中()A．时间之比为1∶2B．时间之比为1∶2C．水平位移之比为1∶4D．当初速度为v0时，小球在空中离斜面最远时抛出的时间为3v04g解析：选BD假设小球两次平抛后都落在斜面上，则tanθ＝12gt2v0t＝gt2v0，可得t＝2v0gtanθ，可见，当以2v0的速度平抛时，小球落到斜面上的时间为以v0的速度平抛时的2倍，小球下落高度为以v0的速度平抛时的4倍，这显然与实际不符，故以2v0的速度平抛时，小球落到地面上，由h2＝12gt12，h＝12gt22可得t1∶t2＝1∶2，A错误，B正确；x1＝v0t1，x2＝2v0t2可得x1∶x2＝1∶22，C错误；以v0平抛时，小球在空中离斜面的距离最远时，小球的速度方向与斜面平行，由tanθ＝gtv0，可得t＝v0gtanθ＝3v04g，D正确．考点三平抛运动中的临界问题——师生共研|记要点|求解平抛运动临界问题的一般思路(1)确定临界状态．(2)找出临界状态对应的临界条件．(3)分解速度或位移．(4)若有必要，画出临界轨迹．|析典例|【例】(2016年浙江卷)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h.(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；(3)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系．[解析](1)打在中点的微粒32h＝12gt2①t＝3hg.②(2)打在B点的微粒v1＝Lt1，2h＝12gt12③v1＝Lg4h④同理，打在A点的微粒初速度v2＝Lg2h⑤微粒初速度范围Lg4h≤v≤Lg2h.⑥(3)由能量关系12mv22＋mgh＝12mv12＋2mgh⑦联立④⑤⑦式解得L＝22h.[答案](1)3hg(2)Lg4h≤v≤Lg2h(3)L＝22h|练高分|1．(2018届广东广州综合测试)如图，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，墙的厚度d＝0.4m，某人在离墙壁距离L＝1.4m、距窗子上沿h＝0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10m/s2.则v的取值范围是()A．v7m/sB．v2.3m/sC．3m/sv7m/sD．2.3m/sv3m/s解析：选C小物件做平抛运动，可根据平抛运动规律解题．若小物件恰好经窗子上沿，则有h＝12gt12，L＝v1t1，得v1＝7m/s，若小物件恰好经窗子下沿，则有h＋H＝12gt22，L＋d＝v2t2，得v2＝3m/s，所以3m/sv7m/s，故C项正确．2．一质量为m＝0.5kg、可视为质点的小滑块，从光滑斜面上高h0＝0.6m的A点由静止开始自由滑下．已知斜面AB与水平面BC在B处通过一小圆弧光滑连接．长为x0＝0.5m的水平面BC与滑块之间的动摩擦因数μ＝0.3，C点右侧有3级台阶(台阶编号如图所示)，D点右侧是足够长的水平面．每级台阶的高度均为h＝0.2m，宽均为l＝0.4m．(设滑块从C点滑出后与地面或台阶碰撞后不再弹起，g取10m/s2)(1)求滑块经过B点时的速度vB；(2)求滑块从B点运动到C点所经历的时间t；(3)某同学是这样求滑块离开C点后落点P与C点在水平方向的距离x的：滑块离开C点后做平抛运动，下落高度H＝4h＝0.8m，在求出滑块经过C点速度的基础上，根据平抛运动知识即可求出水平位移x.你认为该同学的解法是否正确？如果正确，请解出结果．如果不正确，请说明理由，并用正确的方法求出结果．解析：(1)滑块在斜面AB上下滑时，机械能守恒，则mgh0＝12mvB2＋0vB＝2gh0＝2×10×0.6m/s＝23m/s.(2)滑块在水平面BC上运动时，由动能定理，得－μmgx0＝12mvC2－12mvB2vC＝vB2－2μgx0＝12－2×0.3×10×0.5m/s＝3m/s由牛顿第二定律μmg＝maa＝μg＝0.3×10m/s2＝3m/s2t1＝vC－vB－a＝3－23－3s≈0.155s.(3)不正确，因为滑块可能落到某一个台阶上．正确解法为假定无台阶，滑块直接落在D点右侧的水平面上，t′＝2Hg＝2×0.810s＝0.4s水平位移x′＝vCt′＝3×