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2．10物理解题中的数学方法一、选择题1．(相似三角形法)如图所示，竖直平面内有一固定的光滑圆环，在圆环最高点P固定有一个光滑的小环(不计大小)．质量为m的小球A套在光滑圆环上，一根长度略小于光滑圆环直径的细绳一端系着小球A，另一端穿过P处的小环挂上质量也为m的小球B，整个系统处于平衡状态，则细绳在P处形成夹角的角度为()A．15°B．30°C．45°D．60°答案D解析以A球为研究对象，受力分析如图所示，由几何关系得△POA∽△ADE，则mgR＝mgPA＝FNR，所以PA＝R，故∠APO＝60°，故D项正确．2．(不等式求临界值)如图所示，MN、PQ为水平放置的平行导轨，静止的导体棒ab垂直放置在导轨上并通以从b到a的恒定电流，导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝33，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．在竖直平面内加与导体棒ab垂直的匀强磁场，发现无论磁感应强度多大都不能使导体棒运动，则磁场的方向与轨道平面的夹角最大为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案A解析如图对导体棒受力分析如图所示，要保证导体棒不运动，则必须：Fsinθ≤μ(mg＋Fcosθ)，即：F(sinθ－μcosθ)≤μmg当磁感应强度足够大时，安培力F也够大，要使上面等式成立必须满足：sinθ－μcosθ≤0tanθ≤μ，因为μ＝33得：θ≤30°即当θ≤30°时，无论安培力多大，导体棒都不能运动，故A项正确，B、C、D三项错误．3．(二次函数求极值)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度为g)()A.v216gB.v28gC.v24gD.v22g答案B解析设最高点速度为vt则12mvt2－12mv2＝－mg·2R得vt＝v2－4gR到达最高点之后做平抛运动，则2R＝12gt2得t＝4Rg水平位移x＝vt·t＝4v2R－4gR2g当R＝b2a＝v28g时，x存在最大值．4．(微元法)有一宇宙飞船，它的正面面积S＝2m2，以v＝3×103m/s的相对速度飞入一宇宙微粒尘区．此微粒尘区1m3空间中有一个微粒，每一个微粒的平均质量为m＝2×10－7kg.设微粒与飞船外壳碰撞后附着于飞船上，要使飞船速度不变，飞船的牵引力应增加()A．3.6×103NB．3.6NC．1.2×10－3ND．1.2N答案B解析选在时间Δt内与飞船碰撞的微粒为研究对象，其质量应等于底面积为S，高为vΔt的圆柱体内微粒的质量．即M＝mSvΔt，初动量为0，末动量为mv.设飞船对微粒的作用力为F，由动量定理得：F·Δt＝Mv－0则F＝MvΔt＝mSvΔt·vΔt＝mSv2；根据牛顿第三定律可知，微粒对飞船的撞击力大小也等于mSv2，则飞船要保持原速度匀速飞行牵引力应增加F′＝F＝mSv2；代入数据得：F′＝2×10－7×2×(3×103)2N＝3.6N．故A、C、D三项错误，B项正确．5．(微分法)如图所示，水平地面上固定着光滑平行导轨，导轨与电阻R连接，放在竖直向上的匀强磁场中，杆的初速度为v0，不计导轨及杆的电阻，则下列关于杆的速度与其运动位移之间的关系图象正确的是()答案C解析导体棒受重力、支持力和向后的安培力；感应电动势为E＝BLv感应电流为I＝ER安培力为F＝BIL＝B2L2vR＝ma＝mΔvΔtv＝ΔxΔt，故ΔvΔx＝B2L2Rmv与x是线性关系；故C项正确，A、B、D三项错误．6．(正弦定理)(多选)如图所示的装置中，两根细绳系住一个小球，两细绳间夹角为θ，细绳AC呈水平状态，现将整个装置在纸面内顺时针缓缓地转动90°角，在转动过程中，保持两绳夹角θ不变．则在转动过程中，CA绳中的拉力FA和CB绳中的拉力FB的大小发生的变化是()A．FA先减小，后增大B．FA先增大，后减小C．FB逐渐减小D．FB最后减到零答案BCD解析如图所示，小球受到三个力作用而处于平衡状态，根据正弦定理，有：Gsinθ＝FAsinα＝FBsinβ，所以FA＝Gsinαsinθ，FB＝Gsinβsinθ.装置在纸面内顺时针缓缓地转动90°角的过程中，θ不变，由图可知，α角由大于90°的钝角变成小于90°的锐角，而β角由90°增大到180°.由上式可得，FA先增大后减小，FB逐渐减小；当装置刚好转动90°角时，FA＝G，FB＝0.故B、C、D三项正确．7．(三角函数求极值)如图所示，质量为m1的不带电小环A套在动摩擦因数为μ＝33的竖直杆上，其最大静摩擦力等于滑动摩擦力，一质量为m2、带电荷量为＋q的小球B与A用一绝缘细线相连，整个装置处于匀强电场中，恰好保持静止，则当电场强度E存在最小值时，E与水平方向的夹角θ为()A．0°B．30°C．45°D．60°答案D解析对A、B整体研究，受到竖直向下总的重力(m1＋m2)g、电场力Eq、沿水平方向垂直于杆的弹力FN和竖直向上的摩擦力，则由平衡条件可得Eqsinθ＋μFN＝(m1＋m2)g，FN＝Eqcosθ.解得Eq(sinθ＋μcosθ)＝(m1＋m2)g，因为sinθ＋μcosθ＝1＋μ2sin(θ＋φ)，其中tanφ＝μ，φ＝30°，所以当θ＝60°时，E最小，故D项正确．8．(二次函数极值)甲、乙两地相距L＝200km，汽车以速度v1＝40km/h从甲地向着正西方的乙地行驶，同时有一摩托车以速度v2＝30km/h从乙地向着正南方行驶，则两车相距最近距离为()A．80kmB．100kmC．120kmD．140km答案C解析设经时间t后两车相距为s，则由图可知：s2＝(L－v1t)2＋(v2t)2＝(v12＋v22)t2－2Lv1t＋L2，v12＋v220，根据二次函数的性质，s2有极小值．当t＝2Lv12（v12＋v22）＝165h时，两车相距最近，smin2＝4（v12＋v22）L2－4L2v124（v12＋v22）＝14400km2，即smin＝120km，故C项正确．9．(函数解析法)(多选)如图所示，xOy坐标系的第一象限内分布着垂直纸面向里的有界匀强磁场B＝0.5T，磁场的右边界是满足y＝12x2(单位：m)的抛物线的一部分，现有一质量m＝1×10－6kg，电荷量q＝2×10－4C的带正电粒子(重力不计)从y轴上的A点(0，0.5m)沿x轴正向以v0射入，恰好不从磁场右边界射出，则()A．粒子在磁场中做逆时针圆周运动B．粒子到达磁场边界的位置坐标为(3m，1.5m)C．粒子在磁场中运动的速率为2×102m/sD．粒子从A点到磁场右边界的运动时间为π3×10－2s答案ACD解析根据左手定则可知粒子在磁场中做逆时针圆周运动，故A项正确；设轨迹圆的半径为R，则圆的方程为x2＋(y－R－0.5)2＝R2，其中抛物线方程为y＝12x2，联立解得：y2－(2R－1)y＋R＋0.25＝0，由于圆与抛物线相切，则该方程根的判别式Δ＝0，即(2R－1)2－4(R＋0.25)＝0，解得：R＝2m，则y＝1.5m，x＝3m，故B项错误；根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝mv2R，解得：R＝mvqB，代入数据解得：v＝2×102m/s，故C项正确；设粒子从A点到磁场右边界时轨迹对应的圆心角为θ，则sinθ＝xR＝32，解得θ＝60°，则粒子从A点到磁场右边界的运动时间为：t＝60°360°×2πmqB＝π3×10－2s，故D项正确．二、计算题10．(三角函数求极值)如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑．若让该小物块从木板的底端以大小恒定的速度v0沿木板向上运动(如图乙)，随着θ的改变，小物块沿木板滑行的距离s将发生变化，重力加速度为g.(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；(2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板上滑的距离最小，并求出此最小值．答案(1)33(2)θ＝60°3v024g解析(1)由题知，当θ＝30°时，对物块受力分析得：mgsinθ＝μFNFN＝mgcosθ联立得：μ＝tanθ＝tan30°＝33；(2)小物块向上运动，则有：mgsinθ＋μmgcosθ＝ma设物块的位移为x，则：v02＝2axx＝v022g（sinθ＋μcosθ）＝v022g1＋μ2sin（θ＋α）令：tanα＝μ，当θ＋α＝90°时，x最小此时有：θ＝60°有：xmin＝v022g（sin60°＋μcos60°）＝3v024g.11．(数学归纳法)如图所示，光滑水平面上停放一个木箱和小车，木箱质量为m，小车和人的总质量为M，M∶m＝4∶1，人以速率v沿水平方向将木箱推出，木箱被挡板以原速率反弹回来以后，人接住木箱再以同样大小的速率v第二次推出木箱，木箱又被原速反弹……，问人最多能推几次木箱？答案3解析选木箱、人和小车组成的系统为研究对象，取向右为正方向．设第n次推出木箱后人与小车的速度为vn，第n次接住后速度为v′n，则由动量守恒定律可知：第一次推出后有：0＝Mv1－mv，则v1＝mvM第一次接住后有：Mv1＋mv＝(M＋m)v′1第二次推出后有：(M＋m)v′1＝Mv2－mv，则v2＝3mvM第二次接住后有：Mv2＋mv＝(M＋m)v′2……第n－1次接住：Mvn－1＋mv＝(M＋m)v′n－1第n次推出：(M＋m)v′n－1＝Mvn－mv即vn＝（2n－1）Mmv设最多能推N次，推出后有vN≥vvN－1v即（2N－1）mvM≥v，且[2（N－1）－1]mvMv所以12(Mm＋1)≤N12(Mm＋1)＋1将Mm＝4代入，可得：2.5≤N3.5因为N取整数，故N＝3.12．(二次方程判别式求极值)如图，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上．整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下．一电荷量为q(q0)、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O′.球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ(0θπ2)．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率．(重力加速度为g)答案2mqgRcosθgRcosθsinθ解析据题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O′.P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛伦兹力：f＝qvB根据牛顿第二定律：Ncosθ－mg＝0，f－Nsinθ＝mv2Rsinθ联立解得：v2－qBRsinθmv＋gRsin2θcosθ＝0，由于v是实数，必须满足Δ＝qBRsinθm2－4gRsin2θcosθ≥0由此得B≥2mqgRcosθ，可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为Bmin＝2mqgRcosθ此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为：v＝qBminRsinθ2m故：v＝gRcosθsinθ.