2020高考数学二轮总复习 第1部分 层级3 专题1 圆锥曲线中的综合问题 第2讲 圆锥曲线中的最值

第一部分高考层级专题突破层级三2个压轴大题巧取高分专题一圆锥曲线中的综合问题第二讲圆锥曲线中的最值、范围问题栏目导航感悟真题题型突破课时跟踪检测(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－12.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；②求△PQG面积的最大值．解：(1)由题设得yx＋2·yx－2＝－12，化简得x24＋y22＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．(2)①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k0)．由y＝kx，x24＋y22＝1得x＝±21＋2k2.设u＝21＋2k2，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)．于是直线QG的斜率为k2，方程为y＝k2(x－u)．由y＝k2x－u，x24＋y22＝1，得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.(*)设G(xG，yG)，则－u和xG是方程(*)的解，故xG＝u3k2＋22＋k2，由此得yG＝uk32＋k2.从而直线PG的斜率为uk32＋k2－uku3k2＋22＋k2－u＝－1k.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．②由①得|PQ|＝2u1＋k2，|PG|＝2ukk2＋12＋k2，所以△PQG的面积S＝12|PQ||PG|＝8k1＋k21＋2k22＋k2＝81k＋k1＋21k＋k2.设t＝k＋1k，则由k0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．因为S＝8t1＋2t2在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为169.因此，△PQG面积的最大值为169.明考情1．最值问题主要考查直线与圆锥曲线相交时的弦长问题及最值的求解．2．范围问题主要考查圆锥曲线的几何性质，题中涉及的参数多与直线方程或圆锥曲线方程有关．题型一最值问题|析典例|【例】(2019·安庆二模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，且过点(2，2)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B为椭圆C的左、右顶点，过C的右焦点F作直线l交椭圆于M，N两点，分别记△ABM，△ABN的面积为S1，S2，求|S1－S2|的最大值．[思路分析]第(1)问：求什么，如何想求椭圆方程想到建立a，b，c的方程求解给什么，如何用已知e及过点坐标，代入建立方程组可解第(2)问：求什么，如何想求|S1－S2|的最值，想到建立目标函数，转化为函数最值求解给什么，如何用设出动直线方程，利用坐标表示面积建立关于直线斜率k的函数，求最值[规范解答](1)根据题意可得，ca＝22，4a2＋2b2＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝4.故椭圆C的标准方程为x28＋y24＝1.(2)由(1)知F(2,0)，当直线l的斜率不存在时，S1＝S2，于是|S1－S2|＝0；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k(x－2)(k≠0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立y＝kx－2，x28＋y24＝1，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－8＝0.∴x1＋x2＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－81＋2k2，于是|S1－S2|＝12×42×|y1＋y2|＝22|k(x1＋x2)－4k|＝22k×8k21＋2k2－4k＝82|k|1＋2k2＝821|k|＋2|k|≤8222＝4.当且仅当k＝±22时等号成立，此时|S1－S2|的最大值为4.综上，|S1－S2|的最大值为4.|规律方法|最值问题的基本解法有几何法和代数法(1)几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)．(2)代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决的．|练题点|1．(2019·合肥二模)已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p0)相切．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．解：(1)∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C相切．由x－y＋1＝0，y2＝2px消去x得，y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由于直线m的斜率不为0，所以可设直线m的方程为ty＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由ty＝x－1，y2＝4x消去x得，y2－4ty－4＝0，∴y1＋y2＝4t，从而x1＋x2＝4t2＋2，∴线段AB的中点M的坐标为(2t2＋1,2t)．设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，dA＋dB＝2d＝2·|2t2－2t＋2|2＝22|t2－t＋1|＝22t－122＋34，∴当t＝12时，可使A，B两点到直线l的距离之和最小，距离的最小值为322.2．(2019·郑州模拟)已知圆C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和抛物线E：y2＝2px(p0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为17.(1)求抛物线E的方程；(2)不过原点O的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点M为圆C上一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程．解：(1)x2＋y2＋2x－2y＋1＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，则圆心C的坐标为(－1,1)．∵Fp2，0，∴|CF|＝p2＋12＋0－12＝17，解得p＝6.∴抛物线E的方程为y2＝12x.(2)显然直线l的斜率非零，设直线l的方程为x＝my＋t(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y2＝12x，x＝my＋t，得y2－12my－12t＝0，Δ＝(－12m)2＋48t＝48(3m2＋t)0，∴y1＋y2＝12m，y1y2＝－12t，由OA⊥OB，得OA→·OB→＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0，整理可得t2－12t＝0，∵t≠0，∴t＝12，满足Δ0，符合题意．∴直线l的方程为x＝my＋12，故直线l过定点P(12,0)．∴当CP⊥l，即线段MP经过圆心C(－1,1)时，动点M到动直线l的距离取得最大值，此时kCP＝1－0－1－12＝－113，得m＝113，此时直线l的方程为x＝113y＋12，即13x－y－156＝0.题型二范围问题|析典例|【例】(2019·合肥一模)已知抛物线C：x2＝2py(p0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程；(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围．[解](1)已知M(m,9)到焦点F的距离为10，则点M到其准线的距离为10.∵抛物线的准线为y＝－p2，∴9＋p2＝10，解得p＝2.∴抛物线的方程为x2＝4y.(2)由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F(0,1)，则l：y＝kx＋1.设Ax1，x214，Bx2，x224，由y＝kx＋1，x2＝4y消去y得，x2－4kx－4＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.由于抛物线C也是函数y＝14x2的图象，且y′＝12x，则PA：y－x214＝12x1(x－x1)．令y＝0，解得x＝12x1，∴P12x1，0，从而|AP|＝14x214＋x21.同理可得，|BQ|＝14x224＋x22，∴|AP|·|BQ|＝116x1x224＋x214＋x22＝116x1x22[16＋4x21＋x22＋x1x22]＝21＋k2.∵k2≥0，∴|AP|·|BQ|的取值范围为[2，＋∞).|规律方法|圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．|练题点|(2019·天津联考)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1，离心率为12，F1为圆M：x2＋y2＋2x－15＝0的圆心．(1)求椭圆的方程；(2)已知过椭圆的右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围．解：(1)由题意知ca＝12，则a＝2c，圆M的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而椭圆的左焦点为F1(－1,0)，即c＝1，所以a＝2，又b2＝a2－c2，得b＝3.所以椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)可知椭圆的右焦点F2(1,0)．①当l与x轴垂直时，直线l：x＝1，直线l1：y＝0，可得|AB|＝3，|CD|＝8，四边形ACBD的面积为12.②当l与x轴平行时，k＝0，直线l：y＝0，直线l1：x＝1，可得|AB|＝4，|CD|＝43，四边形ACBD的面积为83.③当l与x轴不垂直也不平行时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx－1，x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.显然Δ0，且x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3.所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝12k2＋14k2＋3.过F2且与l垂直的直线l1：y＝－1k(x－1)，则圆心(－1,0)到l1的距离为2k2＋1，所以|CD|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.故四边形ACBD的面积S＝12|AB||CD|＝121＋14k2＋3.因为k20，所以当l与x轴不垂直也不平行时，四边形ACBD的面积的取值范围为(12,83)．综上，四边形ACBD的面积的取值范围为[12,83]．