2020高考数学二轮总复习 第1部分 层级2 专题2 三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性

第一部分高考层级专题突破层级二7个能力专题师生共研专题二三角函数与解三角形第一讲三角函数的图象与性质栏目导航感悟真题考点突破课时跟踪检测1．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|解析：选A作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为π2，在区间π4，π2上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为π2，在区间π4，π2上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π，f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B、C、D．故选A．2．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2解析：选D易知C1：y＝cosx＝sinx＋π2，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y＝sin2x＋π12＋π2＝sin2x＋2π3的图象，即曲线C2，故选D．3．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A．x＝kπ2－π6(k∈Z)B．x＝kπ2＋π6(k∈Z)C．x＝kπ2－π12(k∈Z)D．x＝kπ2＋π12(k∈Z)解析：选B函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝2sin2x＋,π12，令2x＋π12＝kπ＋π2(k∈Z)，解得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，所以所求对称轴的方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)，故选B．4．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③解析：选C①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，①正确；②中，当x∈π2，π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，②错误；③中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.又∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误；④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，当x＝π2＋2kπ(k∈Z)或x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，f(x)能取得最大值2，④正确．故选C．5．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cosx＋π3，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π6D．f(x)在π2，π上单调递减解析：选D根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝8π3时，x＋π3＝3π，所以cosx＋π3＝－1，B正确；f(x＋π)＝cosx＋π＋π3＝cosx＋4π3，当x＝π6时，x＋4π3＝3π2，所以f(x＋π)＝0，C正确；函数f(x)＝cosx＋π3在π2，23π上单调递减，在23π，π上单调递增，D不正确．故选D．6．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．π解析：选Af(x)＝cosx－sinx＝－222sinx－22cosx＝－2sinx－π4，当x－π4∈－π2，π2，即x∈－π4，34π时，y＝sinx－π4单调递增，y＝－2sinx－π4单调递减．∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，∴[－a，a]⊆－π4，34π，∴0a≤π4，∴a的最大值为π4.故选A．明考情高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12题或第14～15题位置上，命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．考点一三角函数的图象|多角探明|命题角度一三角函数的图象变换【例1】(1)(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin2x的图象()A．向右平移5π12个单位长度B．向左平移5π12个单位长度C．向右平移5π6个单位长度D．向左平移5π6个单位长度(2)(一题多解)(2019·辽宁五校联考)设ω0，函数y＝2cosωx＋π5的图象向右平移π5个单位长度后与函数y＝2sinωx＋π5的图象重合，则ω的最小值是()A．12B．32C．52D．72[解析](1)因为y＝sin2x＝cosπ2－2x＝cos2x－π2，所以y＝cos2x＋π3＝cos2x＋5π12－π2＝sin2x＋512π，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移5π12个单位长度可得到函数y＝cos2x＋π3的图象．故选B．(2)解法一：函数y＝2cosωx＋π5的图象向右平移π5个单位长度后，得y＝2cosωx－π5＋π5的图象，由已知得2cosωx－π5＋π5＝2sinωx＋π5，所以cosω·x－π5＋π5＝sinωx＋π5，当ω＝12时，cos12x－π5＋π5＝cos12x＋π10≠sin12x＋π5；当ω＝32时，cos32x－π5＋π5＝cos32x－π10≠sin32x＋π5；当ω＝52时，cos52x－π5＋π5＝cos52x－π2＋π5＝sin52x＋π5，所以ω的最小值为52.故选C．解法二：函数y＝2cosωx＋π5的图象向右平移π5个单位长度后，得y＝2cosωx－π5＋π5＝2cosωx＋π5－π5ω的图象，由已知得cosωx＋π5－π5ω＝sinωx＋π5，所以sinπ2＋ωx＋π5－π5ω＝sinωx＋π5，所以π2＋ωx＋π5－π5ω＋2kπ＝ωx＋π5，k∈Z，所以ω＝52＋10k，k∈Z.又因为ω0，所以ω的最小值为52.故选C．[答案](1)B(2)C|规律方法|三角函数图象平移问题处理的“三看”策略命题角度二由函数的图象求解析式【例2】(一题多解)(2019·陕西咸阳三模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝23sinπ8x＋π4B．f(x)＝23sinπ8x＋3π4C．f(x)＝23sinπ8x－π4D．f(x)＝23sinπ8x－3π4[解析]由图象可得，函数的最大值为23，最小值为－23，故A＝23.由函数图象可得，两个相邻对称中心分别为(－2,0)，(6,0)，所以函数的周期T＝2×[6－(－2)]＝16，所以ω＝2πT＝2π16＝π8，所以f(x)＝23sinπ8x＋φ.解法一：(对称中心定φ)由点(－2,0)在函数图象上可得f(－2)＝23sinπ8×(－2)＋φ＝23sinφ－π4＝0，所以φ－π4＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋π4(k∈Z)．因为|φ|π，所以k＝－1或0，即φ＝－3π4或φ＝π4.当φ＝π4时，f(x)＝23sinπ8x＋π4，此时f(0)＝23sinπ4＝60，显然与函数图象不相符，故φ＝π4不正确．当φ＝－3π4时，f(x)＝23sinπ8x－3π4，此时f(0)＝23sin－3π4＝－60，与图象相符，所以φ＝－3π4，函数的解析式为f(x)＝23sinπ8x－3π4.解法二：(最值点定φ)由函数图象可知，相邻两个对称中心分别为(－2,0)，(6,0)，所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2，－23)．代入函数解析式可得f(2)＝23sinπ8×2＋φ＝－23，即sinπ4＋φ＝－1，所以π4＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，解得φ＝2kπ－3π4(k∈Z)．因为|φ|π，所以k＝0，φ＝－3π4.故函数的解析式为f(x)＝23sinπ8x－3π4.[答案]D|规律方法|函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法字母确定途径说明A由最值确定A＝最大值－最小值2B由最值确定B＝最大值＋最小值2ω由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为14个周期，ω＝2πTφ由图象上的特殊点确定一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解|全练题点|1.(2019·洛阳调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝sin3x＋π3B．f(x)＝sin2x＋π3C．f(x)＝sinx＋π3D．f(x)＝sin2x＋π6解析：选D由图象可知T4＝5π12－π6＝π4，∴T＝π，∴ω＝2πT＝2，故排除A、C；把x＝π6代入检验知，选项D符合题意．2．(2019·西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且函数f(x)的图象过点P2，－12，则函数f(x)＝()A．sinπ2x＋π6B．sin2πx＋π6C．sin3π2x－π3D．sin2πx－π6解析：选A由已知得函数f(x)的最小正周期T＝2πω，最大值为1，最小值为－1，因而πω2＋4＝22，所以ω＝π2，又f(x)＝sinπ2x＋φ的图象过点P2，－12，所以－12＝sinπ2×2＋φ，即sinφ＝12，又|φ|π2，所以φ＝π6，所以f(x)＝sinπ2x＋π6.3.(2019·山东日照一模)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，－πφ0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝Asinωx的图象，只需将函数y＝f(x)的图象()A．向左平移π6个单位长度B．向左平移π12个单位长度C．向右平移π6个单位长度D．向右平移π12个单位长度解析：选B由题图知A＝2，T2＝π3－－π6＝π2，∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos(2x＋φ)，将π3，2代入得2cos2π3＋φ＝2，∵－πφ0，∴－π32π3＋φ2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f(x)＝2cos2x－2π3＝2sin2x－π12，故将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位长度可得到g(x)的图象．考点二三角函数的性质|析典例|【例】(1)(2019·合肥