学生数学经验知识和元认知对解题策略的影响

181Vol.18,No.120092JOURNALOFMATHEMATICSEDUCATIONFeb.,20092008–10–202006–JKGHAZ–0721949学生数学经验知识和元认知对解题策略的影响武锡环1，连四清2，宋宏伟3145300721000373455000数学认知结构是数学知识结构和数学活动经验在人脑中的反映，是数学知识结构、数学活动经验内化的结果．数学认知结构中各成分之间存在着显著的相关性．概念知识对解题策略没有直接效应，它只是通过中介变量双基和元认知对解题策略产生间接的效应．双基水平是对解题策略水平影响最大的要素．概念知识通过元认知作用于解题策略的原因为：概念知识的激活可以提高相应任务的元认知策略的激活水平，并通过元认知系统来对解题策略进行调整或监控．数学认知结构；解题策略；路径分析；直接效应；间接效应G421A1004–9894200901–0031–031学习者头脑中的数学知识，按照自己理解的深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成一个具有内部规律的整体结构[1]．这种结构就称为数学认知结构．它是在数学活动中表现出来的主体认知结构，是数学知识结构和数学活动经验在人脑中的反映，是数学知识结构、数学活动经验内化的结果．喻平认为，CPFS结构（即概念域、概念系、命题域、命题系形成的结构）是数学认知结构的一种子结构，并通过调查研究得到结论：CPFS结构是数学学习特有的认知结构；个体的CPFS结构是解决数学问题的知识基础，它对解题效果有直接的影响[2]．龙毅认为，在数学的认知结构中应包含3种主要成分：其一，数学经验知识系统（主要是指内化了的数学技能和数学基础知识）；其二，数学认知活动操作系统（包括数学认知活动中的注意、感知、记忆、意象和思维）；其三，数学元认知系统（包括有关数学活动的元认知知识、元认知体验、元认知监控与调节）[3]．加涅将用以调控自己注意、学习、记忆和思维的内部过程的认知操作技能称为认知策略[4]．按照这种观点，数学的认知策略是一种程序性的知识．然而在数学认知结构成分的划分中，认知策略并没有被归并在“数学经验知识”之中．其原因在于：认知策略与智慧技能（主要指运用概念和规则办事的能力，属于经验性知识）的不同之处在于，后者定向于学习者的外部环境，而认知策略则支配着学习者在对付环境时自身的行为，即认知策略是学习者用来“管理”自己学习过程的方式[5]．譬如，主体在进行数学活动时，作为数学认知策略的数学思想方法，它作用的对象不仅是外在的数学符号，更是个体内在的认知过程．在数学解题过程中，数学的解题策略及其蕴涵的思想方法属于认知策略的范畴．所谓解题策略，是指为了有效地达到解题目标，解题者采用的解题思想或方法．解题策略对解题的影响主要有：解题者掌握必需的解题策略，是有效解决问题的前提；能根据问题情境有效地选择解题策略是解决问题的关键．它主要包括归类（其心理过程是问题表征和模式识别）、化归、算法、分类、类比、构造、逆向策略[6]．这些策略是解决数学问题的直接有效的方法，被称作思维的“强方法”．另外，还有一些适用于多种学科、多个领域的一般性解决问题的认知策略（如多角度的考虑问题）被称为“弱方法”．使用弱方法求解数学问题，未必一定可以成功，但有时对于探索解题的途径是必不可少的[7]．在解题过程中，强方法与弱方法总是互为补充、联合发生作用．函数知识是现代数学的基础．在中学教育中，经过了长时间的孕育、明确、应用的教育过程，使函数的重要思想和方法成为学生认知策略的重要组成部分．本文依照数学认知结构主要有3种成分的假定，以解决函数问题的任务进行实证研究设计，探索高三年级学生的数学经验知识和元认知水平对解题策略水平的影响．22.1本研究在河南省安阳市某试验中学高三年级取得有效样本282个．被试已经完成了高中函数知识的复习．2.2材料1：自编《高三年级函数概念知识结构测试》试卷．选择了高中函数概念应用最为普遍的相关词语18个，主要包括了各种初等函数、函数的性质及其表示方法．依据“这些词语在一类函数问题中同时出现”的原则让被试对这些词语做有联系的判断，这种判断可以称之为“经验关系”的判断；同时要求被试“按照概念的并列关系”对这18个概念词语做出适当的分类，这种分类可以称之为“逻辑关系”的判断．在对（材料1）答卷的评分时，我们利用加权的方法突出了对“经验关系”的考察要求，即重点考察被试基于解题经验的“概念图式”水平．材料2：编选了由15道选择题构成的函数“双基”测查材料，目的在于考查学生的数学基本知识、基本技能的水平．这套双基测查材料，对（材料1）的测查点覆盖率很高．主要选择近3年各类高考试题、难度值居“中等”或“容易”3218层次的题目．在事前的预测中发现，这15道题中难度系数在0.4以上的有14道．材料3：采用《数学问题解决中的元认知量表》[8]，其中元认知要素由元认知知识、元认知体验、元认知策略构成．用以考察学生的元认知水平．材料4：选编了由4道解答题构成“解题策略”测查材料，通过被试识别、运用“分类讨论”、“构造函数”、“数形转化”等函数思想方法的水平，考察被试函数解题策略的水平．为了突出这一考察的目标，在材料4给出的命题及其相应的解题标准中，只涉及到4个属于材料1的概念词语（占材料1概念词语的22%），和3个材料1中所要求的概念联系（占材料1所要求的8%判断）．2.3采用团体测试的方法分两次进行，第一次让被试完成材料1和材料3的试题测试，用时50分钟；第二次让被试完成材料2和材料4的试题测试，用时90分钟．33.1应用皮尔逊积差相关系数的计算方法，得到数学经验知识（概念知识、双基）、元认知和解题策略之间都存在着非常显著的相关，结果如表1．11.000.620**1.000.483**0.427**1.000.457**0.541**0.444**1.00注：**表示显著性水平P=0.013.23.2.1关于解题策略的回归分析选取与解题策略有显著相关性的双基、元认知、概念知识为自变量，以解题策略为因变量，用逐步进入法建立多元回归方程．回归分析结果如表2．2R20.620***0.3820.382/0.505***/0.267***0.4380.056注：***表示达到显著性水平P=0.000由表2可以发现，首先以“双基”作为预测变量进入回归方程，偏回归系数为0.620，且回归方程在显著水平P=0.000上存在显著意义；同时，表2表明，在仅以“双基”为预测时，因变量“解题策略”38.2%的变异（R2）可以由“双基”加以解释．类似地，第二步回归是“双基”和“元认知”作为预测变量计入了回归方程，且它们的偏相关系数在显著水平P=0.000上存在显著意义；它们可以预测因变量“解题策略”43.8%的变异（R2）．由此，得到以双基、元认知为自变量，以解题策略为因变量的回归方程：解题策略=0.505×双基+0.267×元认知．3.2.2关于双基与元认知的回归分析选取与双基成绩有显著相关性的元认知、概念知识、解题策略的测试成绩为自变量，以双基成绩为因变量，用逐步进入法建立多元回归方程．回归分析结果如表3．3R20.620***0.3820.382/0.471***/0.326***0.4640.082注：***表示达到显著性水平P=0.000经过两步回归，“解题策略”和“概念知识”作为预测变量计入了回归方程，且它们的偏相关系数在显著水平P=0.000上存在显著意义；它们可以预测因变量“双基”46.4%的变异（R2）．由此，得到以解题策略、概念知识为自变量，以双基为因变量的回归方程：双基=0.471×解题策略+0.326×概念知识．类似地，还可以得到以概念知识、双基为自变量，以元认知为因变量的回归方程：元认知=0.301×概念知识+0.264×双基．其中，概念知识、双基对元认知的偏相关系数在显著水平P=0.000上存在显著意义；它们可以预测因变量元认知24.6%的变异（R2）．3.2.3概念知识与双基及元认知对解题策略的路径分析根据回归分析的结果，可以建立概念知识、双基、元认知对于解题策略的因果路径分析模型如图1．进而再利用路径分析的方法[9]，得到概念知识、双基、元认知影响解题策略的直接效应、间接效应和总体效应如表4．1400.5050.2670.3920.11400.3920.6190.267由表4的“总体效应”数据表明，对解题策略影响力的大小依次为：双基（0.619）、概念知识（0.392）和元认知（0.267）．44.1由表4发现：概念知识对解题策略没有直接效应，它只是通过中介变量双基和元认知对解题策略产生间接的效应，0.2670.5050.3260.2640.301133它对解题策略影响的总体效应为0.392．概念性知识的间接效应可能与概念激活、数学知识和解题策略的提取有关．Anderson等人认为[10]：在有关的概念被激活的情况下，知识和解题方法（即解题策略）才能得到提取．我们认为，解题策略在长时记忆系统中的组织可能处在双基的下位，而双基中除包括有概念性知识外，还与双基在大脑内部的组织有关．因此，概念性知识激活可以提取有关双基知识，通过双基知识来激活对应的解题方法．4.2由表4发现：双基对解题策略影响的直接效应为0.505，而且双基还以元认知为中介变量对解题策略产生0.114的间接效应，致使双基对解题策略的总效应达到了0.619．因此，与概念知识结构、元认知水平相比，双基水平是对解题策略水平影响最大的要素．当代认知心理学在许多专门领域的研究都证明了解决问题能力取决于个人所获得的知识的多少及其性质和组织结构[11]．波利亚就曾指出，货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本；良好的组织使得所提供的知识易于用上，把记忆里的知识安放得有条不紊只会对解题者有更多的帮助[12]．我国数学教育的培养方式有利于双基能力的形成与发展，有助于在学生的头脑中构建相应的“问题图式”——一种以问题及其解法为中心、对知识和技能进行的组织和建构．解题策略中的“强方法”是一种程序性的知识，面对问题的情境，一旦主体识别了某一个策略模式（目标）或适用的条件，就会进入到程序性的操作活动之中．由双基知识构成的相关“问题图式”就会对这种程序性的操作提供技术性的支撑．所以，双基水平对解题策略水平的影响，主要是在解题策略的“强方法”的应用技能方面．4.3由表4发现：元认知对解题策略的直接效应为0.267．近年来的理论研究和许多实证研究都揭示了元认知水平对解题能力具有很强的影响力，本研究则揭示了元认知对解题策略的影响．事实上，问题解决包括一系列的认知操作，其信息加工过程都有成分、策略、心理表征和知识库的参与．其中，策略是影响思维过程的最直接和最重要的因素，某种特定的策略与特定的思维过程及思维成效直接联系[13]．解题策略是在思维模式的作用下反映出来的，解题者在解题过程中通过激活策略、制订策略、改组策略3种方式来操作策略．元认知的实质在于主体对认知活动的自我意识和自我调控．解题者在执行解题策略时，均会接受元认知的指示和指导：通过元认知体验，在元认知知识的基础上检验、回顾解题方法，调控解题策略，最终逼近问题目标状态[14]．[1]曹才翰，蔡金法．数学教育学概论[M]．南京：江苏教育出版社，1989．[2]喻平．数学问题解决认知模式及教学理论研究[D]．南京师范大学，2001．[3]龙毅．试论数学认知结构[J]．吉首大学学报（自然科学版），1998，（1）：28−31．[4]加涅．学习的条件和教学论[M]．皮连生译．上海：华东师范大学出版社，1999．[5]曹才翰，章建跃．数学教育心理学（第二版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2006．[6]喻平．数学教育心理学[M]．南宁：广西教育出版社，2004．[7]皮连生．学与教的心理学[M]．上海：华东师范大学出版社，2005．[8]唐剑岚，周莹，汤服成．数学问题解决中的元认知问卷量表的设计[J]．数学教育学报，2005，14（2）：44−48．[9]余秀林．多元统计分析