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第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形第1课时矩形的定义及性质-1-矩形的定义同步考点手册P171.下列条件不能证明平行四边形ABCD是矩形的是()A．∠BAD＝90°B．∠BAD＝∠BC．AB2＋BC2＝AC2D．∠B＝60°D-2-2．已知，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝12，BD＝13.求证：平行四边形ABCD是矩形．证明：∵AB＝5，AD＝12，BD＝13.∴AB2＋AD2＝BD2，∴∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．-3-矩形的性质同步考点手册P183.矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论不正确的是()A．AC⊥BDB．AC＝BDC．BO＝DOD．AO＝COA-4-4．下列性质中，矩形不一定具有的是()A．对角线相等B．四个角都相等C．是轴对称图形D．对角线垂直D-5-5．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是()A．2B．4C．23D．43B-6-6．如图，在矩形ABCD中(ADAB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是()A．△AFD≌△DCEB．AF＝12ADC．AB＝AFD．BE＝AD－DFB-7-7．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为____．12-8-直角三角形斜边中线的性质同步考点手册P188．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长为()A．14B．16C．17D．18D-9-9．直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是_____．132-10-未能把握折叠中的对应关系，导致错误10.如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形)，则∠OCD＝_______．126°-11-11．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，则整个阴影部分图形的周长为()A．72cmB．18cmC．40cmD．36cmD-12-12．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为()A．600m2B．551m2C．550m2D．500m2B-13-13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，求∠BAE的度数．解：设∠CAD＝x，则∠EAC＝2∠CAD＝2x.∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∴∠ADO＝∠CAD＝x，∵AE⊥BD，∴2x＋x＋x＝90°，∴x＝22.5°.∴∠BAE＝90°－3x＝22.5°.-14-14．如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，∠BDE＝15°，试求∠COE的度数．-15-解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE＝∠CED＝45°，∴EC＝DC，又∵∠BDE＝15°，∴∠CDO＝60°，∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD＝OC，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝CD＝CE，∠DCO＝60°，∴∠COE＝∠CEO，∵∠BCD＝90°，∴∠OCB＝30°，∴∠COE＝12×(180°－30°)＝75°.-16-15．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，连接AC，DF.-17-(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA．又∵CD∥FA，∴四边形ACDF是平行四边形．(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．解：BC＝2CD．理由如下：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°.∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∵E是AD的中点，∴AD＝2DE，∴AD＝2CD．∵AD＝BC，∴BC＝2CD．-18-16．如图，在▱ABCD中，点E，F在直线AC上(点E在F左侧)，BE∥DF.-19-证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAF＝∠BCE，又∵DE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA．在△BEC与△DFA中，∠BEC＝∠DFA，∠BCE＝∠DAF，BC＝DA，∴△BEC≌△DFA(AAS)，∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；-20-(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝213，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．解：连接BD，BD与AC相交于点O，∵AB⊥AC，AB＝4，BC＝213，∴AC＝6，∴AO＝3，∴在Rt△BAO中，BO＝5.∵四边形BEDF是矩形，∴OE＝OB＝5，∴点E在OA的延长线上，且AE＝2.17．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.解：△AED≌△CEB′.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD，∠B＝∠D．由折叠的性质，知BC＝B′C，∠B＝∠B′，∴B′C＝AD，∠B′＝∠D．在△AED和△CEB′中，∠DEA＝∠B′EC，∠D＝∠B′，AD＝CB′，∴△AED≌△CEB′.(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于点G，PH⊥EC于点H，试求PG＋PH的值，并说明理由．解：PG＋PH＝4.理由如下：如图，延长HP交AB于点M，则PM⊥AB．由折叠的性质，知∠1＝∠2.∵PG⊥AB′，∴PM＝PG.∵CD∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝CE＝8－3＝5.在Rt△ADE中，DE＝3，AE＝5，∴AD＝52－32＝4.易知四边形ADHM为矩形，∴HM＝AD，即PM＋PH＝AD．∴PG＋PH＝AD＝4.