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§20.5等腰梯形的判定等腰梯形的判定方法(1)_____相等的梯形是等腰梯形；(2)___________________相等的梯形是等腰梯形；(3)_______相等的梯形是等腰梯形.两腰在同一底上的两个角对角线【预习思考】1.两角相等的梯形是等腰梯形吗?提示：不一定.还可以是直角梯形.2.在证明等腰梯形时,只要保证一组对边相等就可以吗?提示：不可以.还要保证另一组对边平行且不相等.等腰梯形的判定【例1】(2011·郴州中考)在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=DC,对角线BD平分∠ABC.求证:梯形ABCD是一个等腰梯形.【解题探究】1.证明等腰梯形的一般方法:(1)两腰相等的梯形是等腰梯形；(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.2.根据已知条件,要证明梯形ABCD是一个等腰梯形,应用什么方法?答:根据已知条件,要证明梯形ABCD是一个等腰梯形,可以根据两腰相等的梯形是等腰梯形的方法证明.3.∵AD∥BC,∴∠CBD=∠ADB,∵BD是∠ABC平分线,∴∠CBD=∠ABD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.∵AD=DC,∴AB=DC,∴梯形ABCD是一个等腰梯形.【规律总结】等腰梯形判定的三种方法(1)根据定义:两腰相等的梯形→等腰梯形.(2)根据底角:在同一底上的两个角相等的梯形→等腰梯形.(3)根据对角线:对角线相等的梯形→等腰梯形.【跟踪训练】1.下列命题中,真命题是()(A)有一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形(B)有一组对角互补的梯形是等腰梯形(C)有一组邻角相等的四边形是等腰梯形(D)有两组邻角分别相等的四边形是等腰梯形【解析】选B.根据等腰梯形的判定方法,选项B可以判定等腰梯形,其余选项不能判定为等腰梯形.2.在四边形ABCD中，AD∥BC,但AD≠BC,若使它成为等腰梯形,则需添加的条件是______(填一个正确的条件即可).【解析】根据等腰梯形的判定方法,添加条件AB=DC或∠B=∠C或AC=BD可以判定四边形ABCD为等腰梯形.答案：AB=DC或∠B=∠C或AC=BD(答案不唯一)3.在□ABCD中,AC是一条对角线,∠B=∠CAD,延长BC至点E,使CE=BC,连结DE.求证:四边形ABED是等腰梯形.【证明】∵在□ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∴∠CAD=∠ACB.∵∠B=∠CAD,∴∠ACB=∠B.∴AB=AC.∵AB∥CD,∴∠B=∠DCE.又∵BC=CE,∴△ABC≌△DCE.∴AC=DE=AB.∵AD∥BE,∴四边形ABED为等腰梯形.等腰梯形的判定及应用【例2】(6分)(2011·茂名中考)如图,在等腰△ABC中,点D,E分别是两腰AC,BC上的点,连接AE,BD相交于点O,∠1＝∠2.(1)求证:OD＝OE；(2)求证:四边形ABED是等腰梯形.【规范解答】(1)如图,∵△ABC是等腰三角形,∴AC＝BC,∴∠BAD＝∠ABE,………………………………1分又∵AB＝BA,∠2＝∠1,∴△ABD≌△BAE,∴BD＝AE,…………………………………2分又∵∠1＝∠2,∴OA＝OB,∴BD－OB＝AE－OA,即OD＝OE.………………………………3分(2)由(1)知:OD＝OE,∴∠OED＝∠ODE,∴∠OED＝(180°－∠DOE),同理:∠1＝(180°－∠AOB),…………………………4分又∵∠DOE＝∠AOB,∴∠1＝∠OED,∴DE∥AB,易错提醒:证明线段AD=BE时,要选用正确方法.1212∵AD,BE是等腰三角形两腰所在的线段,∴AD与BE不平行,∴四边形ABED是梯形,……………………………………5分又由(1)知△ABD≌△BAE,∴AD＝BE∴梯形ABED是等腰梯形.…………………………6分【规律总结】等腰三角形和等腰梯形的关系平行线截等腰三角形,四边形一定是等腰梯形,等腰梯形两腰交一点,等腰三角形一定会出现.【跟踪训练】4.下列命题正确的是()(A)梯形的对角线相等(B)等腰梯形的对角线相等且互相平分(C)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(D)只有两个角相等的梯形是等腰梯形【解析】选C.等腰梯形的对角线相等,选项A错误；等腰梯形的对角线相等，但一定不互相平分,选项B错误；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形,选项C正确；只有同一底上的两个角相等的梯形才是等腰梯形,选项D错误.5.如图,DE∥BC,则四边形BCED为_____；要使BCED为等腰梯形,对△ABC还应添加条件_________.【解析】因为DE∥BC,∴四边形BCED为梯形；要使BCED为等腰梯形,对△ABC添加条件∠B=∠C或AB=AC即可.答案：梯形∠B=∠C或AB=AC6.如图所示,AD是∠BAC的平分线,DE∥AB,DE=AC,AD≠EC.求证：四边形ADCE是等腰梯形.【证明】∵AB∥ED,∴∠BAD=∠ADE.又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,∴∠CAD=∠ADE,∴OA=OD.又∵AC=DE,∴AC-OA=DE-OD，即OC=OE,∴∠OCE=∠OEC,又∵∠AOD=∠COE,∴∠CAD=∠OCE，∴AD∥CE,而AD≠CE,故四边形ADCE是梯形.又∵∠CAD=∠ADE,AD=DA,AC=DE,∴△DAC≌△ADE,∴DC=AE,∴四边形ADCE是等腰梯形.1.下列说法:①对角线相等的梯形是等腰梯形；②对角线互相垂直的矩形是正方形.其中()(A)①正确,②不正确(B)①,②都正确(C)①,②都不正确(D)①不正确,②正确【解析】选B.根据等腰梯形和正方形的判断方法,命题①,②都正确.2.在梯形中,若有两个角相等,那么它一定为()(A)等腰梯形(B)直角梯形(C)一般梯形(D)直角或等腰梯形【解析】选D.两个角是底角时,梯形为等腰梯形；两个角是同一腰上的角时,梯形为直角梯形.3.有一梯形的一个底角为60°,两底之差为一腰长,则这个梯形为______梯形.【解析】如图,作DE∥AB,则四边形ABED为平行四边形,∴AB=DE，EC=BC-BE=BC-AD=DC,当∠C=60°时,△DEC为等边三角形,即DC=DE=AB,所以梯形ABCD为等腰梯形.当∠B=60°时，因为DE∥AB,所以∠DEC=∠B=60°，所以△DEC为等边三角形,即DC=DE=AB,所以梯形ABCD为等腰梯形.答案：等腰4.如图,在由六个全等的正三角形拼成的图形中,等腰梯形的个数是________个.【解析】∵AB∥FC,AF不平行BC.又∵AF=BC,∴四边形ABCF是等腰梯形.同理四边形BCDA,四边形CDEB,四边形DEFC,四边形EFAD,四边形FABE也是等腰梯形.从而符合定义的共有6个.答案：65.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线,证明四边形EBCD为等腰梯形.【证明】∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠DBC=∠ECB.又∵BC=BC,∴△EBC≌△DCB.∴BE=CD.∴AB-BE=AC-CD,即AE=AD.∴∠AED=∠ADE.∴∠ABC=∠AED=∴ED∥BC.又∵BE与CD交于点A.∴BE与CD不平行.∴四边形EBCD是等腰梯形.180A.2－