2020春八年级数学下册 第20章平行四边形的判定 20.4正方形的判定习题课件 华东师大版

§20.4正方形的判定阅读相关内容,回答下列问题:(1)有一个角是_____的_____为正方形；(2)有一组邻边_____的_____是正方形.(3)平行四边形,矩形,菱形,正方形的关系:直角菱形相等矩形正方形【预习思考】正方形的对角线和菱形的对角线有何异同?能根据菱形的对角线判定正方形吗?提示：正方形的对角线除垂直、平分、平分一组对角外还相等,菱形的对角线不相等；如果菱形的对角线相等,则菱形是正方形.正方形的判定【例1】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC垂足分别为E,F.求证:四边形DEAF是正方形.【解题探究】1.四边形DEAF具备哪些条件?这些条件能判定四边形DEAF为什么四边形?答:根据已知条件,四边形DEAF有3个角是直角,根据这些条件可以判定四边形DEAF为矩形.2.要证明四边形DEAF是正方形还缺少什么条件?答:根据有一组邻边相等的矩形是正方形的判定定理,再证明一组邻边相等即可.3.(1)证明矩形:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=90°,∠AFD=90°.∵∠BAC=90°,∴四边形AEDF是矩形；(2)证明正方形:在△BDE和△CDF中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC.又∵D是BC的中点,∴BD=DC,∴△BDE≌△CDF,∴DE=DF.∴四边形AEDF是正方形.【规律总结】【跟踪训练】1.已知四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,添加一个条件,可推出该四边形是正方形,这个条件可以是()(A)∠D=90°(B)AB=CD(C)AD=BC(D)BC=CD【解析】选D.由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形,因此再添加条件:一组邻边相等,即可判定为正方形,故选D.2.已知四边形ABCD是菱形,当满足条件______时,它成为正方形(填上你认为正确的一个条件即可).【解析】有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形.答案：∠A=90°或AC=BD(答案不唯一)3.如图,正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连结CP,试判断四边形CODP的形状，并证明.【解析】四边形CODP为正方形.理由:由正方形的性质,得OD=OC,且OD⊥OC.∵DP∥OC,且DP=OC,∴四边形CODP为平行四边形,∵OD⊥OC,∴四边形CODP为矩形,∵DP=OC=OD,∴矩形CODP为正方形.正方形的性质与判定的应用【例2】(8分)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点P、Q分别是AB、AC上的动点,且满足BP=AQ,D是BC的中点.(1)求证:△PDQ是等腰直角三角形；(2)当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,说明理由.【规范解答】(1)连结AD,∵△ABC是等腰直角三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B.…………………………1分又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD,∴PD=QD,∠ADQ=∠BDP.……………………………………2分∵∠BDP+∠ADP=90°,∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°,∴△PDQ为等腰直角三角形；………………………………4分(2)当P点运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形.……………5分理由:由(1)知△ABD为等腰直角三角形.当P点运动到AB的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90°.又∵∠BAC=90°,∠PDQ=90°,∴四边形APDQ为矩形,………………………………………7分又∴四边形APDQ是正方形.…………………8分易错提醒:由∠BAC=90°,可以先证矩形再证正方形.1DPAPAB,2【规律总结】判定正方形的三个思路(1)先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等和有一个角为直角；(2)先证四边形是矩形，再证一组邻边相等或对角线垂直；(3)先证四边形是菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.总之，判定一个四边形是正方形，应同时具备判定矩形和菱形的条件.【跟踪训练】4.如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为()(A)60°(B)30°(C)45°(D)90°【解析】选C.因为正方形是轴对称图形,所以剪刀与折痕所成的角的度数为45°时,剪下的图形为正方形.5.爸爸交给小明一个任务:要求他在一块不规则木板上锯出一个边长为0.5m的正方形木板,小明手中的度量工具是米尺和直角尺(可度量直角),爸爸怎样用米尺和直角尺检验小明锯出的正方形木板是否准确?【解析】方法一:先量出四条边的长,看是否都为0.5m,再用直角尺量出一个角的度数,看这个角是否为90°,如果边长都是0.5m,角是90°,说明小明锯出的木板是满足条件的正方形.方法二:先量出四条边的长,看是否都为0.5m,再量出对角线长,看是否相等,如果边长都是0.5m,且对角线长相等,则说明锯出的木板是满足条件的正方形.方法三:先用直角尺量出四个角的度数,再用米尺量出两条邻边的长度.如果四个角都是直角,两条邻边的长度相等且为0.5m,则说明锯出的木板是满足条件的正方形.1.下列命题中,真命题是()(A)两条对角线相等的四边形是矩形(B)两条对角线互相垂直的四边形是菱形(C)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形(D)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形【解析】选D.根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法,选项D是正确的.2.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是()(A)当AB=BC时,它是菱形(B)当AC⊥BD时,它是菱形(C)当∠ABC=90°时,它是矩形(D)当AC=BD时,它是正方形【解析】选D.邻边相等的平行四边形是菱形,A正确；对角线垂直的平行四边形是菱形,B正确；有一个角为直角的平行四边形是矩形,C正确；对角线相等的平行四边形是矩形,不是正方形,D错误.3.(2012·南充中考)如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2,则AC的长是______cm.【解析】作AM⊥BC于M,AN⊥CD交CD延长线于N,则∠AMB=∠AND=∠AMC=90°.∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠B+∠ADC=180°,∵∠ADN+∠ADC=180°,∴∠ADN=∠B.∵AD=AB,∴△ABM≌△ADN,∴AM=AN,S四边形ABCD=S四边形AMCN.∵∠AMC=∠AND=90°,∠BCD=90°,∴四边形AMCN是正方形.∵四边形ABCD的面积是24cm2,∴正方形AMCN的面积是24cm2,答案：AMAN26,AC22643.434.已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是_______.【解析】如图1,当点E在正方形ABCD外时,在△ADE中,AD=DE,∠ADE=90°+60°=150°,所以如图2,当点E在正方形ABCD内时,在△ADE中,AD=DE,∠ADE=90°－60°=30°,所以答案：15°或75°1AED180150152－；1AED1803075.2－5.如图所示,点D是线段AB的中点,点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.(1)求证:CE=CF；(2)点C运动到什么位置时,四边形CEDF成为正方形?说明理由.【解析】(1)∵CD垂直平分AB,∴△ADC≌△BDC.∴∠DCA=∠DCB.∵DE⊥AC,DF⊥BC,在Rt△DEC和Rt△DFC中,∠DCE=∠DCF,∠DEC=∠DFC=90°,DC=DC.∴Rt△DEC≌Rt△DFC.∴CE=CF.(2)当时,四边形CEDF为正方形.证明:当时,∴DA=DC,DC=DB,∴△ADC和△BDC均为等腰直角三角形.∴∠A=∠ACD=∠B=∠DCB=45°.1CDAB21CDAB21DADBAB,2∴∠ECF=45°+45°=90°.∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴四边形CEDF为矩形,∵CE=CF,∴四边形CEDF为正方形.