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§20.3菱形的判定菱形的判定方法(1)对角线互相_____的_____四边形是菱形.【点拨】对角线互相垂直平分的四边形是菱形.垂直平行(2)四边_____的四边形是菱形.(3)每条对角线_____一组_____的四边形是菱形.【归纳】菱形的判定除定义外,一般是先判定为平行四边形,再根据平行四边形的对角线性质判定菱形.相等平分对角【预习思考】1.平移平行四边形的一边,平行四边形能变为菱形吗?根据是什么?提示：能.平移平行四边形的一边，使一邻边相等，根据菱形的定义可知该平行四边形为菱形.2.改变平行四边形对角线的位置关系,平行四边形能变为菱形吗?依据是什么?提示：能.当对角线互相垂直时，依据菱形的判定定理,可得该平行四边形为菱形.菱形的判定【例1】(2011·保山中考)如图,在平行四边形ABCD中,点P是对角线AC上一点,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E,F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗?为什么?【解题探究】1.角平分线+平行线会有什么结论?答:角平分线+平行线会得到等腰三角形.2.应用上面的结论,例题会得出哪些相等关系的量?答:由∠DAC=∠CAE,AB∥DC,得∠DAC=∠DCA,所以DA=DC.3.根据前两步的探究,例题中的平行四边形的边有什么特征?答:一组邻边相等,即平行四边形为菱形.4.推理如下:∵PE⊥AB,PF⊥AD,且PE=PF,∴AC是∠DAB的平分线,∴∠DAC=∠CAE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠DCA=∠CAB,∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形.【规律总结】菱形判定口诀任意一个四边形,四边相等成菱形；四边形的对角线,垂直互分是菱形.已知平行四边形,邻边相等叫菱形；两对角线若垂直,顺理成章为菱形.【跟踪训练】1.小明和小亮在做一道习题,若四边形ABCD是平行四边形,请补充条件________,使得四边形ABCD是菱形.小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD,你认为下列说法正确的是()(A)小明、小亮都正确(B)小明正确,小亮错误(C)小明错误,小亮正确(D)小明、小亮都错误【解析】选B.一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相等的平行四边形是矩形,所以小明正确,小亮错误.2.如图,△ABC为等腰三角形,把它沿底边BC翻折后,得到△DBC.请你判断四边形ABDC的形状,并说出你的理由.【解析】四边形ABDC为菱形.理由是:由翻折,得△ABC≌△DBC,∴AC=CD,AB=BD.∵△ABC为等腰三角形,∴AB=AC,∴AC＝CD＝AB＝BD,∴四边形ABDC为菱形.3.(2012·娄底中考)如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.(1)求证:△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?请说明理由.【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠C=90°,AB=DC,AD=BC.∵M,N分别是AD,BC的中点,∴AM=NC,∴△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是菱形.理由:∵△MBA≌△NDC,∴MB=DN,∠ABM=∠CDN.∵P,Q分别是BM,DN的中点,∴PM=NQ.∵∠ABM+∠CBM=90°,∠CDN+∠CND=90°,∴∠CBM=∠CND,∴PM∥NQ,∴四边形MPNQ是平行四边形.连结MN,由题意可得四边形AMNB是矩形,PN为直角三角形斜边上的中线,故PN=MP,∴四边形MPNQ是菱形.菱形的判定的应用【例2】(6分)两个全等的直角三角形重叠放在直线l上,如图(1),AB=6cm,BC=8cm,∠ABC=90°,将Rt△ABC在直线l上左右平移,如图(2)所示.(1)求证:四边形ACFD是平行四边形；(2)怎样移动Rt△ABC,使得四边形ACFD为菱形.【规范解答】(1)∵四边形ACFD为Rt△ABC平移形成的,∴AD∥CF,AC∥DF,……………………………………………2分∴四边形ACFD为平行四边形；………………………………3分易错提醒:移动Rt△ABC时,可以左右移动,是两种情况.(2)当AD=AC时,四边形ACFD为菱形,…………………………4分在Rt△ABC中,AB=6cm,BC=8cm,∠ABC=90°根据勾股定理求得AC=10cm,………………………………5分∴将Rt△ABC向左、右平移10cm,均可使得四边形ACFD为菱形………………………………………………………………6分【规律总结】证明菱形的两种方法【跟踪训练】4.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以A和B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是()(A)矩形(B)菱形(C)正方形(D)等腰梯形1AB2【解析】选B.∵分别以A和B为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于C,D,∴AC=AD=BD=BC,∴四边形ADBC一定是菱形,故选B.1AB25.下列命题中:①两条对角线互相垂直的四边形是菱形②两条对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形③两条对角线互相平分的四边形是菱形④两条对角线相等的四边形是菱形真命题为______(填序号).【解析】命题①和④只能说明是一般四边形；命题②两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,又对角线互相垂直可以确定为菱形；命题③为平行四边形.答案：②6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=60°，DE垂直平分BC,垂足为D，交AB于点E,又点F在DE的延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.【证明】∵DE垂直平分BC,∴EB=EC.又∵∠BAC=60°,∴∠ECB=∠ABC=30°.∴∠ACE=60°.∴△ACE为等边三角形，∴AC=CE=AE.又CE=AF,∴AC=CE=AF=AE.又DF∥AC,∴∠AEF=∠BAC=60°,∴△AEF为等边三角形，∴AF=EF.∴AC=CE=EF=FA,∴四边形ACEF是菱形.1.如图,在菱形ABCD中,E,F,G,H分别是菱形四边的中点,连接EG与FH交于点O,则图中共有菱形()(A)4个(B)5个(C)6个(D)7个【解析】选B.由菱形的性质可知,AE=AH=HD=GD=CG=CF=FB=BE=OE=OG=OH=OF,∴四边形AEOH,HOGD,EOFB,OFCG和ABCD均为菱形,共5个.故选B.2.□ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BAD；④AO=DO,使得□ABCD是菱形的条件有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【解析】选C.根据菱形的判定定理,①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BAD可以判定□ABCD为菱形.3.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AD=BC=CD,点E为AB上一点,连接CE.请添加一个你认为合适的条件_________,使四边形ADCE为菱形.【解析】可添加的条件为AE=AD或∠CEB=∠B等.以∠CEB=∠B为例进行说明:证明:∵∠CEB=∠B,∴BC=CE=AD；∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CEB=∠B；∴ADCE,即四边形AECD是平行四边形；又∵AD=DC,∴平行四边形ADCE是菱形.答案：AE=AD或∠CEB=∠B(答案不唯一)4.如图，在□ABCD中，AD⊥BD，E,F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD.四边形BFDE的形状是________.【解析】四边形ABCD是平行四边形→→四边形BFDE是平行四边形→四边形BFDE是菱形.答案：菱形ADBDEAB1DEABBE2为中点5.(2012·恩施中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC,AB,AC的中点.求证:四边形AEDF是菱形.【证明】∵点D，E，F分别是BC,AB,AC的中点.∴DE∥AC，DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形.又∵AD⊥BC，BD=DC,∴AB=AC,∴AE=AF,∴平行四边形AEDF是菱形.