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§20.2矩形的判定矩形的判定方法(1)根据定义:有一个角是_____的_____四边形是矩形.(2)根据对角线:对角线_____的_____四边形是矩形.直角平行相等平行【点拨】因为对角线互相平分的四边形是平行四边形,所以对角线相等且互相平分的四边形是矩形.(3)根据角:有___个是_____的四边形是矩形.【归纳】证明矩形一般先证明是平行四边形,然后再证明是矩形.三直角【预习思考】□ABCD添加什么条件后，可以变为矩形ABCD？提示：加一个角是直角或对角线相等.矩形的判定【例1】(2011·青岛中考)已知:□ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连结AF,CE.(1)求证:△BEC≌△DFA；(2)连结AC,若CA=CB,判断四边形AECF是什么特殊四边形?并证明你的结论.【解题探究】(1)①一般三角形全等有几种判定方法?答:一般三角形全等的判定有“S.A.S.”,“A.S.A.”,“A.A.S.”,“S.S.S.”四种方法.②根据平行四边形的性质,结合三角形全等的判定方法,应用哪个判定定理证明△BEC≌△DFA?答:根据平行四边形的性质,可以应用“S.A.S.”证明△BEC≌△DFA.③若证△BEC≌△DFA，根据□ABCD的条件可知BC=DA,∠B=∠D故只需再证BE=DF.∵E,F分别为AB和CD的中点,故只需证AB=CD.而根据四边形ABCD是平行四边形，便可得出AB=CD，问题得证.(2)①根据已知条件,初步得出四边形AECF是什么特殊四边形?说明理由.答:四边形AECF是平行四边形.理由:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,且AB=CD.∵E,F分别是AB,CD的中点,∴AE=CF.又AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.11AE=AB,CF=CD.22②连结AC,若CA=CB,则△BCA有什么特点?CE和AB有什么位置关系?答:△BCA是等腰三角形.根据等腰三角形的性质,CE⊥AB.③综上所述,四边形AECF是什么特殊四边形?答:∵□AECF有一个角是直角,∴四边形AECF是矩形.【规律总结】矩形的判定口诀任意一个四边形,三个直角成矩形；对角线等互平分,四边形它是矩形.已知平行四边形,一个直角叫矩形；两对角线若相等,理所当然为矩形.【跟踪训练】1.平行四边形ABCD中,AC,BD是两条对角线,如果添加一个条件,即可推出平行四边形ABCD是矩形,那么这个条件是()(A)AB=BC(B)AC=BD(C)AC⊥BD(D)AB⊥BD【解析】选B.对角线相等的平行四边形是矩形.2.如图,EB=EC,EA=ED,AD=BC,∠AEB=∠DEC.证明:四边形ABCD是矩形.【证明】∵EB=EC,∠AEB=∠DEC,EA=ED,∴△ABE≌△DCE,∴AB=DC.又∵AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形.∵△ABE≌△DCE,∴∠ABE=∠DCE.∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB,∴∠ABC=∠DCB.∵∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=∠DCB=90°,∴四边形ABCD是矩形.3.M为平行四边形ABCD的边AB的中点,且MD=MC,你能说明平行四边形ABCD一定为矩形吗?说明你的理由.【解析】平行四边形ABCD一定为矩形.∵AM=BM,BC=AD,MD=MC,∴△MBC≌△MAD,∴∠A=∠B.又∵ABCD为平行四边形,AD∥BC,∴∠A=∠B=90°,∴平行四边形ABCD为矩形.矩形的判定的应用【例2】(10分)如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE,AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.【规范解答】当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.…………………………………………2分证明:∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2.………………3分又∵MN∥BC,∴∠1=∠3.∴∠3=∠2,∴EO=CO.………………………………………………………5分同理,FO=CO.…………………………………………………6分∴EO=FO.易错提醒:正确应用角平分线和平行线得到等腰三角形是解题关键.又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.………………………………7分又∵∠1=∠2,∠4=∠5,∴∠1+∠5=∠2+∠4.…………………………………………8分又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°.……………………………………………9分∴四边形AECF是矩形.………………………………………10分【规律总结】矩形判定的两种思路(1)依据条件,先证平行四边形,再证有一个角是直角或对角线相等得矩形；(2)依据条件,证三个角为直角得矩形.【跟踪训练】4.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案,其中正确的是()(A)测量对角线是否相互平分(B)测量两组对边是否分别相等(C)测量一组对角是否都为直角(D)测量其中三角是否都为直角【解析】选D.因为有三个角是直角的四边形是矩形.其余条件判定矩形不充分.5.如图,过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h,沿这条垂线段剪下三角形纸片,将它平移到右边,平移距离等于平行四边形的底边长a.平移后的图形是矩形吗?为什么?【解析】是矩形.因为平移后的图形首先是个平行四边形,又因为这个平行四边形的相邻的两边都垂直,因此是个矩形.1.已知□ABCD的对角线交于点O,分别添加下列条件①∠ABC=90°；②AC=BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD.能判定□ABCD为矩形的条件的序号是()(A)①②(B)②③④(C)③④(D)②③【解析】选A.有一个角为直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形,故选①②.2.甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时,一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形,他们各自做了如下检测.检测后,他们都说窗框是矩形,你认为最有说服力的是()(A)甲量得窗框两组对边分别相等(B)乙量得窗框的对角线相等(C)丙量得窗框的一组邻边相等(D)丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等【解析】选D.根据矩形的判定定理得,选项A、B、C都不能说明窗框是矩形；由“两组对边分别相等”得平行四边形,再由“两条对角线相等”得平行四边形是矩形,所以选项D正确,即丁测量的对.3.延长等腰△ABC的腰BA到D,CA到E,分别使AD=AB,AE=AC,则四边形BCDE是_______，其判别根据是________.【解析】由AD=AB,AE=AC且AB=AC,得四边形BCDE是矩形，其依据是对角线互相平分且相等的四边形是矩形.答案：矩形对角线互相平分且相等的四边形是矩形4.(2012·毕节中考)我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形,现有一个对角线分别为6和8的菱形,它的中点四边形的对角线长是_______.【解析】如图,不妨令BD=6,AC=8,∵E,F,G,H分别为各边的中点,∴EF∥GH∥AC,∵DB⊥AC,∴EF⊥EH,∴四边形EFGH是矩形,答案：511EFGHAC,EHFGBD,EHFGBD,222211EHBD3EFAC4,HFEHEF5.22，5.(2012·枣庄中考)已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.(1)求证:AB=BC；(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.【证明】(1)连结AC.∵∠ABC=90°,∴AB2+BC2=AC2.∵CD⊥AD,∴AD2+CD2=AC2.又∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴AB=BC.(2)过C点作CF⊥BE于F.∵BE⊥AD,∴四边形CDEF是矩形.∴CD=EF.∵∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,∴△BAE≌△CBF,∴AE=BF,∴BE=BF+EF=AE+CD.