搜索
§20.1平行四边形的判定根据图示,回答下列问题:(1)两组_____分别_____的四边形是平行四边形；∵AB=___,AD=___,∴四边形ABCD是平行四边形.对边相等CDBC【点拨】平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形，也可作为平行四边形的判定方法.(2)一组对边_____且_____的四边形是平行四边形；∵AB∥___,AB=___,∴四边形ABCD是平行四边形.(3)对角线_________的四边形是平行四边形；∵AO=___,BO=___,∴四边形ABCD是平行四边形.平行相等CDCD互相平分CODO(4)两组_____分别_____的四边形是平行四边形；∵∠ABC=______,∠BAD=______,∴四边形ABCD是平行四边形.对角相等∠ADC∠BCD【归纳】平行四边形的判定可以从对边、对角、对角线三个角度来分析.【预习思考】一组对角相等的四边形是平行四边形吗？提示：不是.平行四边形的判定【例1】已知，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，BE=DF，BE∥DF.求证：四边形ABCD是平行四边形.【解题探究】若证四边形ABCD是平行四边形，根据题中的条件，可以证明ABCD,需证△ABE≌△CDF，从而得出AB=CD,∠BAE=∠DCF,进而得出AB∥CD,∵已知AE=CF,BE=DF,∴需证∠AEB=∠CFD,∵BE∥DF,∴∠BEF=∠DFE,∴∠AEB=∠CFD,问题得证.【规律总结】平行四边形的判定口诀要证平行四边形，两个条件才能行，一证对边都相等，或证对边都平行，一组对边也可以，必须相等且平行。对角线，是个宝，互相平分“跑不了”，对角相等也有用，“两组对角”才能成.【跟踪训练】1.四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件_______(只需填上一个你认为正确的即可).【解析】由AD∥BC，可以添加条件AD=BC或AB∥CD或∠A=∠C可以使四边形ABCD为平行四边形.答案：AD=BC(或AB∥CD或∠A=∠C)2.(2012·朝阳中考)如图,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于F点,AB=BF,请你添加一个条件(不需要添加任何线段或字母),使之能推出四边形ABCD为平行四边形,请证明.你添加的条件是______.【解析】添加的条件是:CD∥AB(除此条件外,其他条件能证明四边形ABCD为平行四边形的均可)证明:∵CD∥AB,∴∠CDE=∠BFE.又∵EC=BE,∠DEC=∠FEB,∴△CED≌△BEF,∴CD=BF.又∵AB=BF,∴AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.答案：CD∥AB(答案不唯一)3.如图，E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF.请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明.【解析】BE∥DF且BE=DF.连结BD，交AC于点O，连结DE，BF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=OD,AO=CO.又∵AF=CE,∴AE=CF,∴EO=FO,∴四边形BEDF是平行四边形,∴BE∥DF且BE=DF.平行四边形的判定的应用【例2】(6分)李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘，在它的四个角上均有一棵大柳树，李大伯开挖池塘，使池塘面积扩大一倍，又想保持柳树不动，如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯的愿望能否实现?若能，请画出你的设计图，并说明理由；若不能，请说明理由.【规范解答】能，……………………………………………1分理由如下:连结AC和BD交于点O，过点A和点C分别作BD的平行线，过点B和点D分别作AC的平行线，则四边形EFGH即是要求的图形.如图：……………………3分理由：∵EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,∴四边形AEBO,四边形BFCO,四边形DOCG,四边形AODH是平行四边形；…………………………………4分根据平行四边形的性质，得S△AEB=S△AOB,S△AHD=S△AOD,S△FBC=S△OBC,S△CGD=S△COD.………5分∴四边形EFGH的面积为四边形ABCD的面积的两倍.………6分【规律总结】平行四边形判定的应用解题时的两个步骤(1)判定一个四边形是平行四边形.(2)利用平行四边形的性质解决有关问题.【跟踪训练】4.工人师傅现在需要把一块三角形的铁板(如图)，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形，你能帮助他设计一种可行的方案吗?请在图中画出焊接线，并说明你的理由.【解析】设计的方案如图所示，可分别取AB,AC边的中点D,E，连结DE，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于F，把△ABC沿DE切割后，补在△CFE的位置上，就可焊接成□BCFD.理由如下：∵E是AC的中点，∴AE=CE.∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△CFE,∴AD=CF.∵D是AB的中点,∴AD=BD，故BD=CF，又∵CF∥AB，∴四边形BCFD是平行四边形.5.小明的爸爸在钉制平行四边形框架时采用了下面的方法.将两根同样长的木条AB，CD平行放置，再用木条AD，BC加固，得到的四边形ABCD就是平行四边形，小明的爸爸这样做行吗？说明理由.【解析】小明的爸爸这样做行，理由如下：由题意知：AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.1.以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作()(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个【解析】选B.假设三点为A，B，C,分别以AB,AC,BC为对角线，可以作出三个平行四边形,分别为□ACBD1、□ABCD2和□ABD3C，如图2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形()(A)AE=CF(B)DE=BF(C)∠ADE=∠CBF(D)∠AED=∠CFB【解析】选B.A中能得到OE=OF，由OB=OD从而证明其为平行四边形；C中能证明△ADE≌△CBF，得AE=CF，同A一样；D中也能证明△ADE≌△CBF.3.把两个全等的非等腰三角形拼成平行四边形，可拼成的不同平行四边形的个数为______个.【解析】两个全等的三角形拼在一起，必须把相等的边重合，故有三种拼法，而每种拼法中有两种情况，一种拼成平行四边形，另一种不是平行四边形(是一个轴对称图形)，故可拼成三个不同的平行四边形.答案：34.如图所示，在□ABCD中，E,F分别是对角线BD上的两点，且BE=DF，要证明四边形AECF是平行四边形，最简单的方法是根据_____来证明.【解析】连结AC交BD于点O，则OA=OC,OB=OD，又BE=DF，∴OE=OF,∴四边形AECF为平行四边形，故用两条对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明较简单.答案：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形5.(2012·徐州中考)如图,C为AB的中点,四边形ACDE为平行四边形,BE与CD相交于点F,求证:EF=BF.【证明】连结EC,DB,在□ACDE中,ACDE,又C是AB的中点，即AC=BC,∴DEBC,∴四边形BDEC是平行四边形,∴EF=BF.