2020春八年级数学下册 第19章 全等三角形 19.4逆命题与逆定理 4线段的垂直平分线习题课件

4.线段的垂直平分线1.线段的垂直平分线(1)性质定理①定理描述:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的_________.②几何语言:如图,∵MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,∴______.距离相等PA=PB(2)判定定理①定理描述:到一条线段的两个_____的_____相等的点,在这条线段的垂直平分线上.②几何语言:如图,∵QA=QB,∴点Q在AB的垂直平分线上.端点距离【归纳】线段的垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理.2.三角形三边垂直平分线的性质定理(1)定理描述:三角形三条边的垂直平分线相交于_____,并且该点到三个顶点的_________.(2)几何语言:如图,∵直线l，m，n分别是三角形三边的垂直平分线,∴OA=OB=OC.一点距离相等【点拨】三角形三条边的垂直平分线的交点和三角形三内角平分线的交点不同.【预习思考】1.一条线段及线段的垂直平分线是轴对称图形吗?提示：是.2.是否存在一种三角形,有一点到三角形各边的距离和到三角形各顶点的距离都相等?提示：等边三角形内有一点到三角形各边的距离和到三角形各顶点的距离都相等.线段垂直平分线的性质和判定的应用【例1】如图,点B，C在∠SAT的两边上,且AB=AC.(1)请按下列语句用尺规画出图形(不写画法,保留作图痕迹).①AN⊥BC,垂足为N；②∠SBC的平分线交AN延长线于M；③连结CM.(2)该图中有_________对全等三角形.【解题探究】1.(1)根据已知条件,△ABC是什么三角形?过A点作的BC的垂线有什么特点?答:∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,根据等腰三角形的三线合一,过A点作的BC的垂线是线段BC的垂直平分线.(2)∠SBC的平分线交AN延长线的交点M有什么特点?答:因为点M既在线段BC的垂直平分线上,又在∠SBC的平分线上,所以点M到B，C两点的距离相等,到直线AS，BC，AT的距离相等.2.(1)连结CM后,△BMC是什么三角形?答:△BMC是等腰三角形.(2)寻找图中全等三角形,说出全等的依据:答:△ABN≌△ACN(H.L.)；△MBN≌△MCN(H.L.)；△ABM≌△ACM(S.A.S.).(3)答案：3【规律总结】线段垂直平分线口诀遇见垂直平分线,引向两端把线连；两条连线定相等,一般思路要记清.要证线段倍与半，延长缩短可试验.【跟踪训练】1.如图,在△ABC中,BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△EBC的周长等于18cm,则AC的长等于()(A)6cm(B)8cm(C)10cm(D)12cm【解析】选C.因为DE是AB的垂直平分线,所以EA=EB.所以AC=AE+EC=EB+EC.又因为EB+EC+BC=18,BC=8,所以EB+EC=18-8=10，即AC=10.故应选C.2.如图,AC=AD,BC=BD,AB与CD相交于O，则AB与CD的关系是____________.【解析】因为AC=AD,BC=BD,所以,AB是线段CD的垂直平分线,即AB垂直平分CD.答案：AB垂直平分CD3.△ABC中,∠ABC=80°,∠BAC=40°,AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E.用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE.【解析】如图所示:线段垂直平分线的性质和判定的实际应用【例2】(6分)为进一步打造“宜居重庆”,某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等,且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半,A，B，C的位置如图所示.请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置.(要求:不写已知、求作、作法和结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图).【规范解答】如图所示:(1)连结AB………………………1分(2)作出AB的垂直平分线………3分(3)找出M点的位置………………5分(4)标出字母M………………………………………………6分特别提醒:作M点时要以C为圆心,AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于M.【规律总结】线段垂直平分线性质及判定的应用(1)线段的垂直平分线是证明线段相等的重要依据之一，在应用时要注意分清条件与结论，防止混淆.(2)线段垂直平分线的图形结构中含有全等三角形，但在应用时，一般情况下不用三角形全等的方法来解决，以免给解题增加麻烦.【跟踪训练】4.如图,A，B，C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在()(A)在AC，BC两边高线的交点处(B)在AC，BC两边中线的交点处(C)在AC，BC两边垂直平分线的交点处(D)在∠A，∠B两内角平分线的交点处【解析】选C.要使超市到三个小区的距离相等,即超市的位置在以A，B，C三个居民小区的位置成三角形的三边垂直平分线上,又因为三角形三边垂直平分线交于一点,所以选项C正确.5.如图,△ABC中,DE垂直平分AC,与AC交于点E,与BC交于点D,∠C=15°,∠BAD=60°,则△ABC是________三角形.【解析】因为DE垂直平分AC,即DA=DC,所以∠DAC=∠C=15°,∠ADB=15°+15°=30°.又因为∠BAD=60°，所以∠B=180°-∠BAD-∠ADB=90°,即△ABC是直角三角形.答案：直角6.如图,八年级(1)班与八年级(2)班这两个班的学生分别在M，N两处参加劳动,现要在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应点P,使P到两条道路的距离相等,且使PM=PN,你能找出符合条件的点P,并简要说明理由吗?【解析】作∠BAC的角平分线AD,作线段MN的垂直平分线EF,AD与EF交于点P,如图所示:∵AD平分∠BAC,∴点P到两条道路AB，AC的距离相等,又∵点P在线段MN的中垂线上,∴PM=PN.1.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是()(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不能确定【解析】选B.假设AB上的点D是两边的垂直平分线的交点,那么DA=DC,DB=DC,即∠A=∠DCA,∠B=∠DCB,因为∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°,所以∠DCA+∠DCB=∠ACB=90°,所以,△ABC为直角三角形.2.如图是一张直角三角形的纸片，直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为()(A)4cm(B)5cm(C)6cm(D)10cm【解析】选B.由勾股定理AB2=AC2+BC2=62+82=100，得AB=10cm，由题意知1BEAEAB5(cm).23.如图,△ABC中,∠C=90°,DE是AB的垂直平分线,且∠BAD∶∠CAD=4∶1,则∠B=__________.【解析】因为DE是AB的垂直平分线,所以∠B=∠DAB.由∠C=90°,得∠B+∠BAC=90°.根据∠BAD∶∠CAD=4∶1,设∠DAC=x°,则x+4x+4x=90,解得x=10,即∠B=40°.答案：40°4.如图,AB=AD,BC=CD,AC，BD相交于点E.由这些条件可以得出若干结论,请你写出其中三个正确结论_________________(不要添加字母和辅助线,不要求证明).【解析】因为AB=AD,BC=CD,所以AC是线段BD的垂直平分线,即AC⊥BD,△ABD是等腰三角形,AC平分∠BAD,△ADC≌△ABC.答案：AC⊥BD,△ABD是等腰三角形,AC平分∠BAD,△ADC≌△ABC(答案不唯一)5.如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点C，Q,连结CQ与AB相交于点D,连结AC,BC.那么:(1)∠ADC=__________度；(2)当线段AB=4,∠ACB=60°时,求△ABC的面积.1AB2【解析】(1)根据题意,得QC是线段AB的垂直平分线，∴∠ADC=90°.(2)AC=BC,∠ACB=60°,∴△ABC是等边三角形.CD⊥AB,根据勾股定理,得2222ABCCDACAD4223.11SABCD42343.22△