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3.角平分线1.如图1,已知：OQ平分∠AOB,QD⊥OA,QE⊥OB,点D，E为垂足,则___=___.图1【归纳】角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.QDQE2.如图2,已知：QD⊥OA,QE⊥OB,点D，E为垂足,且QD=QE，则点Q在∠AOB的_______上.图2【归纳】到一个角的两边距离相等的点在这个角的_______上.平分线平分线3.三角形三条角平分线交于_____.一点【预习思考】1.角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么?提示：角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.使用角平分线的判定定理要注意什么问题？提示：要注意不能见到垂直就得结论，还要满足到角的两边距离相等,二者缺一不可.角平分线性质定理和判定定理的应用【例1】如图,AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为_________.【解题探究】1.点P具备什么样的特点?答:点P既在∠ABC的平分线上,又在∠BAD的平分线上.2.根据点P具备的特点有什么样的性质?依据是什么?答:根据角平分线的性质,点P既到∠ABC的两边距离相等,又到∠BAD的两边距离相等.3.根据上面的分析,解答问题:答:过点P作MN⊥AD,交AD于点M,交BC于点N,如图所示:∵AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,PE⊥AB于点E,又PM⊥AD,PN⊥BC,∴PM=PE=2,PN=PE=2,∴MN=2+2=4.答案：4【规律总结】角平分线性质及判定的区别附：记忆口诀：角平分线性质记忆口诀图中有角平分线,可向两边作垂线；也可将图对折看,对折以后关系现.【跟踪训练】1.在以下结论中,不正确的是()(A)平面内到角的两边距离相等的点一定在角平分线上(B)角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等(C)一个角只有一条角平分线(D)角的平分线有时是直线,有时是线段【解析】选D.根据角平分线的判定及性质,选项A，B正确；根据角平分线的定义,得选项C正确,选项D错误.2.如图,OP是∠AOB的平分线,C是OP上一点,CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,CE=6cm,CF=_____cm,理由是______________.【解析】OP是∠AOB的平分线,CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,根据角平分线的性质,得CE=CF=6cm,理由:角平分线上的点到角的两边距离相等.答案：6角平分线上的点到角的两边距离相等3.如图,已知BD是∠ABC的平分线,CD是∠ACB的外角平分线,由D出发,作点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG,垂足分别为E，F，G,则DE，DF，DG的关系是________.【解析】因为BD是∠ABC的平分线,CD是∠ACB的外角平分线,且DE⊥BC,DF⊥AC,DG⊥BA,所以,DE=DF,DE=DG,即DE=DF=DG.答案：DE=DF=DG角平分线性质定理和判定定理的综合应用【例2】(6分)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点E,过点D作DF⊥AB于点F,说明BC=DE+EF成立的理由.【规范解答】∵BD平分∠ABC,DF⊥AB,∠C是直角,∴CD=DF,∠DBC=∠DBE,∠DFB=∠C,…………………………………1分∴△BCD≌△BFD,∴BC=BF.………………………………………………………3分特别提醒:应是线段DC和DF相等，而不是DC和DE相等.∵DE∥BC,∴∠DBC=∠EDB,又∵∠DBC=∠DBE,∴∠EDB=∠DBE,∴△BDE是等腰三角形,………………………………………4分∴BE=DE,∴BF=BC=DE+EF.………………………………………………6分【规律总结】角平分线+平行线=等腰三角形角平分线平行线,等腰三角形来添,内错角加平分角,等角对应等线段.基本图形：P是∠CAB的平分线上一点,PD∥AB,则有∠1=∠2=∠3,所以AD=DP.【跟踪训练】4.如图,△ABC中BD，CD平分∠ABC，∠ACB,过D作直线平行于BC,分别交AB，AC于E，F,当∠A的位置及大小变化时,线段EF和BE+CF的大小关系()(A)EF＞BE+CF(B)EF=BE+CF(C)EF＜BE+CF(D)不能确定【解析】选B.根据BD平分∠ABC、CD平分∠ACB,且EF∥BC,得△BED和△CFD是等腰三角形,即ED=EB,FD=FC,所以EF=BE+CF,与∠A的位置及大小变化无关.5.如图,△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB外角的平分线交于点D,过D作BC的平行线交AB，AC于E，F,求证:EF=BE-CF.【证明】∵BD平分∠ABC,ED∥BC,∴BE=DE.∵CD平分∠ACG,ED∥BC,∴∠FCD=∠FDC,∴FD=FC,∴EF=DE-DF=BE-CF.1.如图,D是∠BAC的平分线AD上一点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,下列结论中不正确的是()(A)DE=DF(B)AE=AF(C)△ADE≌△ADF(D)AD=DE+DF【解析】选D.根据角平分线的性质,选项A正确；又AD=AD,依据H.L.定理,得△ADE≌△ADF,即选项B,C正确；选项D不正确.2.如图所示,已知∠AOB=40°,OM平分∠AOB,MA⊥OA于A,MB⊥OB于B,则∠MAB的度数为()(A)50°(B)40°(C)30°(D)20°【解析】选D.由OM平分∠AOB,MA⊥OA,MB⊥OB,得∠AOM=20°,MA=MB,所以∠AMO=70°,即∠AMB=140°,所以∠MAB故选D.1(180140)20,23.如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=6,那么PD等于_________.【解析】过P作PE⊥OA于点E,如图,则PD=PE.∵PC∥OB,∴∠OPC=∠POD.∵OP平分∠AOB,∠AOB=30°,∴∠ECP=30°.在Rt△ECP中,∴PD=PE=3.答案：31PEPC3,24.如图,已知∠CDA=∠CBA=90°,且CD=CB,则点C在∠_______的平分线上,点A在∠_______的平分线上.【解析】∵∠CDA=∠CBA=90°,且CD=CB,根据角平分线性质的逆定理,则点C在∠BAD的平分线上,点A在∠BCD的平分线上.答案：BADBCD5.如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE=AF.求证：(1)PE=PF；(2)点P在∠BAC的平分线上.【证明】(1)如图，连结AP，∵PE⊥AB,PF⊥AC,∴∠AEP=∠AFP=90°.又AE=AF，AP=AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP，∴PE=PF；(2)∵Rt△AEP≌Rt△AFP，∴∠EAP=∠FAP，∴AP是∠BAC的平分线，故点P在∠BAC的平分线上.