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1.互逆命题与互逆定理2.等腰三角形的判定1.在两个命题中,如果第一个命题的_____是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的_____,那么这两个命题叫做_____命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题就叫做它的___命题.【点拨】每一个命题都有逆命题,原命题正确,它的逆命题不一定正确.题设题设互逆逆2.如果一个定理的逆命题也是_____,那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的_______.3.如果一个三角形有两个角_____,那么这两个角所对的___也相等.(简写成“___________”)定理逆定理相等边等角对等边4.如果三角形的一条边的_____等于另外两条边的_______,那么这个三角形是_____三角形.【归纳】等腰三角形的性质和判定,勾股定理和逆定理都是互逆定理.平方平方和直角【预习思考】1.定理一定有逆定理吗?提示：不一定.2.假命题的逆命题一定是假命题吗?提示：不一定.例如“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题“对顶角相等”是真命题,且是定理.互逆命题【例1】写出下列命题的逆命题,并判断这些命题的真假.(1)如果∠α与∠β是邻补角,那么∠α+∠β=180°；(2)如果一个三角形的两个内角相等,那么这两个内角所对的边相等.【解题探究】1.如何写出命题的逆命题?答:把原命题的题设和结论进行交换,就成了逆命题.2.所有命题的逆命题都成立吗?答:命题的逆命题并不都成立.3.交换命题的题设和结论,并对逆命题进行判断:(1)逆命题:如果∠α+∠β=180°,那么∠α与∠β是邻补角.这是假命题.(2)逆命题:如果一个三角形的两条边相等,那么这两条边所对的内角相等.这是真命题.【规律总结】求逆命题的“两步法”【跟踪训练】1.下列说法中,正确的是()(A)每一个命题都有逆命题(B)假命题的逆命题一定是假命题(C)每一个定理都有逆定理(D)定理正确那么它的逆命题就正确【解析】选A.因为假命题的逆命题不一定是假命题,所以选项B错误；有些定理有逆定理,有些定理没有逆定理,选项C错误；定理正确，但它的逆命题不一定正确，故对顶角相等，所以选项D错误；选项A正确.2.命题“等边三角形的每个角都等于60°”的逆命题是_______,逆命题_______(填“正确”或“错误”).【解析】逆命题:“每个角都等于60°的三角形是等边三角形”,逆命题是正确的.答案：每个角都等于60°的三角形是等边三角形正确3.举例说明命题的逆命题是错误的.命题:如果一个整数的个位数字是5,那么这个整数能被5整除.【解析】原命题的逆命题:如果一个整数能被5整除,那么这个整数的个位数字是5.举反例说明逆命题是假命题:10能被5整除,但个位数不是5.等腰三角形的判定及性质的应用【例2】(6分)(2011·扬州中考)已知:如图,锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O,且OB=OC.求证:△ABC是等腰三角形.【规范解答】∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.…………1分特别提醒:此题应用等腰三角形的判定定理，而不是直接证得两腰相等.∵锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O,∴∠BEC=∠BDC=90°.………………………………3分∵∠EOB=∠DOC,∴∠EBO=∠DCO.∵∠OBC=∠OCB,∴∠ABC=∠ACB,………………………………………4分∴AB=AC,………………………………………………5分∴△ABC是等腰三角形.………………………………6分【规律总结】等腰三角形性质口诀研究等腰三角形,两腰底角都相等,分析顶角平分线,平分垂直于底边,既是底边上的高,又是底边的中线.【跟踪训练】4.如果D是△ABC中BC边上一点,且△ADB≌△ADC,则△ABC是()(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)等腰三角形(D)直角三角形【解析】选C.由△ADB≌△ADC知，AB=AC,则△ABC是等腰三角形.5.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中等腰三角形有_______个.【解析】因为∠A=36°,∠C=72°,所以∠ABC=72°.又∠C=72°,所以△ABC为等腰三角形；由∠A=36°,∠ABD=∠ABC-∠DBC=36°,所以△ADB为等腰三角形；由于∠BDC=2∠A=72°=∠C,所以△BDC为等腰三角形.答案：36.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E,F,且BF=CE.求证:△ABC是等腰三角形.【证明】∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°.又∵BD=CD,BF=CE,∴Rt△BDF≌Rt△CDE,∴∠B=∠C.∴△ABC是等腰三角形.1.下列定理中,有逆定理的是()(A)四边形的内角和等于360°(B)同角的余角相等(C)全等三角形对应角相等(D)在一个三角形中,等边对等角【解析】选D.由题意得,选项D有逆定理,其余选项没有逆定理.2.如图,已知AC∥BD,OA=OC,则下列结论不一定成立的是()(A)∠B=∠D(B)∠A=∠B(C)OA=OB(D)AD=BC【解析】选C.∵AC∥BD,∴∠A=∠D,∠B=∠C,又∵OA=OC,即∠A=∠C,∴∠A=∠B=∠C=∠D,故A，B正确.∵∠B=∠D,∴OB=OD,又∵OA=OC,∴OA+OD=OC+OB，即AD=BC.故D正确.3.(2011·德州中考)下列命题中,其逆命题成立的是______(只填写序号).①同旁内角互补,两直线平行；②如果两个角是直角,那么它们相等；③如果两个实数相等,那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.【解析】①两直线平行,同旁内角互补,正确；②如果两个角相等,那么它们是直角,错误；③如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等,错误；④一个三角形是直角三角形,那么三角形的三边长a,b,c,c为斜边,满足a2+b2=c2,正确.答案：①④4.如图,以△ABC的三边分别向外作正方形,它们的面积分别是S1,S2,S3,如果S1+S2=S3,那么△ABC的形状是_______三角形.【解析】∵S1+S2=S3且S1=AB2,S2=BC2,S3=AC2,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.答案：直角5.已知点A和点B,以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形,一共可以作出多少个等腰直角三角形?【解析】当以AB为底边,有C1，C2两个点符合要求,如图(1)；当以AB为腰,有C3，C4，C5，C6四个点符合条件,如图(2).所以一共可作出6个等腰直角三角形.