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§19.3尺规作图1.尺规作图的定义只使用无刻度的_____和_____作几何图形的方法称为尺规作图.2.五种基本作图(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个___等于已知___；(3)作已知___的平分线；(4)经过一已知点作已知直线的_____；(5)作已知线段的___________.直尺圆规角角角垂线垂直平分线【归纳】尺规作图中的直尺只能画线而不测量，圆规只画弧或圆.【点拨】尺规作图时语言要规范,作图保留痕迹.【预习思考】1.几何中的画图和尺规作图有什么不同?提示：画图是指画出某个图形,对画图工具不作要求；尺规作图对工具有严格的限制.2.用直角三角尺画一个直角,是尺规作图吗?提示：不是.基本尺规作图【例1】(8分)如图,一张纸上有线段AB.(1)请用尺规作图,作出线段的垂直平分线(保留作图痕迹,不写作法和证明)；(2)若不用尺规作图,你还有其他的作法吗?请说明作法(不作图).【规范解答】(1)如图:…………………………………………………………5分(2)对折,使点A与B重合,则折痕所在的直线为线段AB的垂直平分线.………………………………………………………8分【规律总结】尺规作图的四步骤(1)画出草图:画出草图心中有数,以便确定作法.(2)确定作图步骤:按步骤作图不要遗漏.(3)写出作图语言:根据要求写出规范的作图语言.(4)写出作图结论.【跟踪训练】1.下面的说法,错误的是()(A)线段有且只有一条中垂线(B)线段的中垂线平分线段(C)线段的中垂线是一条直线(D)经过线段中点的直线是线段的中垂线【解析】选D.经过线段中点的直线如果不和线段垂直则不是线段的中垂线,所以,选项D错误.2.所谓尺规作图中的尺规是指:_____________________.【解析】尺规作图中的尺规是指没有刻度的直尺和圆规.答案：没有刻度的直尺和圆规3.根据图形填空:(1)连结_______两点；(2)延长线段_______到点_______，使BC=_______；(3)在_______AM上截取_______=_______；(4)以点O为_______，以m为_______画_______交OA，OB分别于点C，D.【解析】(1)连结A，B两点；(2)延长线段AB到点C，使BC=AB；(3)在线段AM上截取AB=a；(4)以点O为圆心，以m为半径画圆弧交OA，OB分别于点C，D.答案：(1)A，B(2)ABCAB(3)线段ABa(4)圆心半径圆弧利用尺规作图作三角形【例2】(2011·青岛中考)已知:如图,线段a和h.求作:△ABC,使AB=AC,BC=a,且BC边上的高AD=h.【解题探究】1.求作的三角形具备什么特点?应用三角形的什么性质作图?答:求作的三角形是等腰三角形,根据等腰三角形的“三线合一”的性质进行作图.2.如何作三角形的高?答:先作线段BC的垂直平分线,然后再在垂直平分线上截取高.3.等腰三角形的高和底边确定后,等腰三角形唯一(填“唯一”或“不唯一”).4.尺规作图:如图所示:结论:△ABC即为所求.【规律总结】尺规作图四注意第一,不能擅自增加圆规和直尺的功能；第二,不能用“目测”替代圆规；第三,不能用三角板的直角替代作垂直的过程；第四,熟练课本上介绍的基本作图步骤.【跟踪训练】4.利用基本作图不可作的等腰三角形是()(A)已知底边及底边上的高(B)已知底边上的高及腰(C)已知底边及顶角(D)已知两底角【解析】选D.因为选项D没有边长,所以这样的三角形不可作.5.把∠O四等分的步骤是:第一步:先把∠O________等分；第步:把得到的两个角分别再________等分.【解析】第一步:先把∠O两等分；第二步:把得到的两个角分别再两等分,即可把∠O四等分.答案：两两6.已知△ABC,如图所示.(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线MN(保留作图痕迹,不写作法)；(2)设MN交AC于点P,已知PC=2PA,∠A=45°,求BC边的长.AB22,【解析】(1)如图所示.(2)连结PB,∵MN垂直平分AB,∴PA=PB.又∵∠A=45°,∴∠APB=∠BPC=90°,而∴AP=BP=2,∴PC=2PA=4,在Rt△BCP中,AB22,2222BCPCPB4225.1.只用无刻度直尺就能作出的是()(A)延长线段AB至C,使BC=AB(B)过直线L上一点A作L的垂线(C)作已知角的平分线(D)从点O再经过点P作射线OP【解析】选D.用无刻度直尺只能画直线,不能度量线段,不能度量角度,所以选项A，B，C都不能作出,只有选项D正确.2.用尺规作图,不能作出唯一三角形的是()(A)已知两角和夹边(B)已知两边和其中一边的对角(C)已知两边和夹角(D)已知两角和其中一角的对边【解析】选B.依据三角形的判定定理,选项B不能确定唯一的三角形.3.(2012·济宁中考)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是()(A)S.S.S.(B)A.S.A.(C)A.A.S.(D)角平分线上的点到角两边距离相等【解析】选A.由作图知,ON=OM,NC=MC,OC=OC,所以△ONC≌△OMC,得到∠AOC=∠BOC.4.如图,已知∠α,∠β,线段c.求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.作法:(1)作线段AB=c；(2)以A为顶点,以AB为一边作∠BAD=∠α；(3)以B为顶点,以BA为一边,作∠ABE=∠β,AD,BE交于C点；则△ABC就是所作的三角形,如图.作图依据是__________.【解析】已知两角及夹边作三角形,所以作图依据是“A.S.A.”.答案：A.S.A.5.如图，已知线段a，b，c.求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.【解析】作法：(1)作一条线段BC=a；(2)分别以B,C为圆心，c,b为半径画弧，两弧交于A点；(3)连结AB，AC.则△ABC就是所作三角形,如图所示.