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5.斜边直角边探究1.在一般三角形中,由两组对应(边或角)条件相等的三角形___全等.2.在直角三角形中:(1)两直角边对应相等的两个直角三角形_____,依据_______.不全等S.A.S.(2)一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形_____,依据_______________.(3)一直角边和一斜边对应相等的两个直角三角形,应用勾股定理,可以转化为_________对应相等的两个直角三角形_____,依据_______.全等A.A.S.或A.S.A.两直角边全等S.A.S.【归纳】如果两个直角三角形的斜边和一条_______分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.简记为H.L.(或___________).【点拨】H.L.定理只适合两直角三角形全等的判定.直角边斜边直角边【预习思考】1.一般三角形的判定方法适合直角三角形的判定吗?直角三角形的判定比一般三角形多了个什么条件?提示：适合.它比一般三角形多了直角相等.2.有两组对应条件相等的两直角三角形全等吗?为什么?提示：不一定.当两组角对应相等时，两个直角三角形不全等.应用“H.L.”判定直角三角形全等【例1】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证:△ABE≌△CDF.【解题探究】1.△ABE和△CDF是什么三角形?证明这样的三角形全等首先考虑什么定理?答:△ABE和△CDF是直角三角形.证明这样的三角形全等首先考虑H.L.定理.2.探求全等的条件:(1)∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°,(2)∵BF=DE,∴BF-EF=DE-EF,即BE=DF,3.证明全等:在Rt△ABE和Rt△CDF中,∵AB=CD,BE=DF,∴Rt△ABE≌Rt△CDF(H.L.).【规律总结】应用“H.L.”应注意的三个问题(1)“H.L.”是判定两个直角三角形全等的方法，对于一般的三角形不成立，在使用时一定要注意其应用的范围.(2)在书写格式上，三角形的前面必须注明“Rt”.(3)在题设中，没有指明但又是直角三角形的，必须依照定义说明或推证是直角三角形，否则不能直接应用“H.L.”.【跟踪训练】1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D,BC=BD,如果AC=3cm,那么AE+DE等于()(A)2cm(B)3cm(C)4cm(D)5cm【解析】选B.∵DE⊥AB,∴∠BDE=90°.在Rt△BCE和Rt△BDE中,BC=BD,BE=BE,∴Rt△BCE≌Rt△BDE,即DE=EC,∴AE+DE=AE+EC=AC=3cm.2.如图,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°,若利用“A.A.S.”证明△ABC≌△ABD,可添加条件_________；若利用“H.L.”证明△ABC≌△ABD,则需要加条件_________.【解析】在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°,AB=AB,若利用“A.A.S.”证明△ABC≌△ABD,可添加条件∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBA；若利用“H.L.”证明△ABC≌△ABD,则需要加条件AC=AD或BC=BD.答案：∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBAAC=AD或BC=BD3.如图，已知∠B=∠D=90°，BC=DC.问AC是否平分∠BCD？为什么？【解析】AC平分∠BCD.理由：∵∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中,∵AC=AC,BC=DC.∴Rt△ABC≌Rt△ADC(H.L.),∴∠ACB=∠ACD,即AC平分∠BCD.直角三角形判定定理的综合应用【例2】(10分)在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.【规范解答】(1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.………………2分在Rt△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(H.L.)；……………………………5分(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°,……………6分又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°,由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠BCF=∠BAE=15°,……………………………………9分∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.………………………………………………10分特别提醒:应用△ABC是等腰直角三角形这一性质来解题【规律总结】判定直角三角形全等的“四种思路”(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边对应相等，直接应用“H.L.”判定两直角三角形全等.(2)若有一组锐角和一组斜边对应相等，则利用“A.A.S.”进行判定两直角三角形全等.(3)若有一组锐角和一组直角边对应相等,则分为两种情况:①直角边是锐角的对边，用“A.A.S.”进行判定两直角三角形全等；②直角边是锐角的邻边，用“A.S.A.”进行判定两直角三角形全等.(4)若有两直角边对应相等，则用“S.A.S.”进行判定两直角三角形全等.【跟踪训练】4.使两个直角三角形全等的条件是()(A)一个锐角对应相等(B)两个锐角对应相等(C)一条边对应相等(D)两条边对应相等【解析】选D.选项A:一个锐角对应相等,利用已知的直角相等,可得出另一组锐角相等,但不能证明两三角形全等,故错误；选项B:两个锐角相等,那么也就是三个对应角相等,但不能证明两三角形全等,故错误；选项C:一条边对应相等,再加一组直角相等,不能得出两三角形全等,故错误；选项D:两条边对应相等,若是两条直角边相等,可利用S.A.S.证全等；若一直角边对应相等,一斜边对应相等,也可证全等,故正确.5.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,求证:AD平分∠BAC.【证明】∵DF⊥AC,DE⊥AB,∴∠BED=∠CFD=90°.∵D是BC的中点,∴BD=CD.在△BDE和△CDF中,∠B=∠C,∠BED=∠CFD,BD=CD,∴△BDE≌△CDF,∴DE=DF.在Rt△AED和Rt△AFD中,AD=AD,DE=DF,∴Rt△AED≌Rt△AFD,∴∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC.1.如图,四边形ABCD中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°,则∠BCD的度数为()(A)145°(B)130°(C)110°(D)70°【解析】选C.∵∠ABC=∠ADC=90°,∴在Rt△ADC和Rt△ABC中,CB=CD,AC=AC∴Rt△ABC≌Rt△ADC,又∠ACB=90°-∠BAC=55°,∴∠ACD=∠ACB=55°,∠BCD=110°.故选C.2.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是()(A)两个锐角对应相等(B)一条直角边和一个锐角对应相等(C)两条直角边对应相等(D)一条直角边和一条斜边对应相等【解析】选A.A项不正确,全等三角形的判定必须有边的参与；B项正确,符合判定A.A.S.(或A.S.A.)；C项正确,符合判定S.A.S.；D项正确,符合判定H.L.,故选A.3.如图,已知AC⊥BD于点P,AP=CP,请添加一个条件,使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线),你添加的条件是________.【解析】结合已知条件可得添加的条件是BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D等.答案：BP=DP(或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D等，答案不唯一)4.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,要使△ABD≌△ACD,若根据“H.L.”判定,还需要加条件__________,若加条件__________则可用A.A.S.判定.【解析】∵AD⊥BC,AD=AD,AB=AC,∴Rt△ABD≌Rt△ACD.已知AD⊥BC于D,则AD=AD,若添加条件∠B=∠C,根据A.A.S.可判定△ABD≌△ACD.答案：AB=AC∠B=∠C5.如图,已知△ABC是等腰三角形,BD，CE分别是△ABC两腰上的高线,试说明BE=CD成立的理由.【解析】∵△ABC是等腰三角形,∴AB=AC.又∴CE=BD.在Rt△BCE和Rt△CBD中,BC=CB,CE=BD,∴Rt△BCE≌Rt△CBD(H.L.).∴BE=CD.ABC11SABCEACBD,22