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§19.1命题与定理1.命题的相关概念(1)定义:判断一件事情_____的句子,叫做命题.(2)分类:_____的命题称为真命题,_____的命题称为假命题.(3)组成:命题是由_____(或已知条件)、_____两部分组成的.命题常可写成“如果……,那么……”的形式.用“如果”开始的部分就是_____,而用“那么”开始的部分就是_____.真假正确错误题设结论题设结论2.阅读相关材料,掌握公理和定理的概念及区别(1)公理:数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做_____.(2)定理:数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做_____.公理定理【归纳】命题→真命题→定理→公理的要求越来越严格.【点拨】公理和定理都是真命题.【预习思考】1.一般语句和命题有什么不同？提示：一般语句不能判断真假,而命题能判断真假.2.如何区分公理和定理?提示：公理的正确性不需要用推理来证明,而定理的正确性需要由公理来证明.命题的判定【例1】判断下列命题的真假,并说明理由.①如果两个角是对顶角,那么这两个角相等；②三角形的内角和是180°；③同位角相等；④平行四边形的对角线相等；⑤菱形的对角线相互垂直.【解题探究】1.根据命题的定义,正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题,假命题能举出反例使原来的命题不成立.2.根据命题的定义,写出哪些是真命题,并说明理由.答:①②⑤都是正确的,是真命题；因为对顶角相等,三角形的内角和是180°,菱形的对角线相互垂直都是正确的.3.如果命题是假命题,请举出反例说明.答:(1)③为假命题；反例：当两直线不平行时,所得的同位角不相等,所以命题③为假命题；(2)④为假命题.反例:由平行四边形的性质得对角线不一定相等.【规律总结】真假命题的判定方法方法一：在命题中的已知条件下，如果结论正确就是真命题，如果结论错误就是假命题；方法二：要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，使它符合条件，但不符合结论，说明该命题不成立即可.注意：对一件事情作出判断的语句，不能因为这句话是错误的，就说它不是命题.【跟踪训练】1.下列语句中是命题的是()(A)这个问题(B)这只笔是黑色的(C)你好吗(D)画一条线段【解析】选B.只有选项B是判断句,其余的不是判断句,所以只有B项是命题.2.下列命题:(1)两点之间,线段最短；(2)等边三角形是轴对称图形；(3)两直线相交,对顶角相等；(4)两直线被第三条直线所截,同位角相等.是假命题的是_______.(填序号)【解析】命题(1)(2)(3)都是真命题,命题(4)不成立,是假命题.答案：(4)3.举出命题“能被3整除的数一定是奇数”是假命题的一个反例.__________.【解析】因为6能被3整除,而6是偶数,所以原命题是假命题.答案：6(答案不唯一)公理、定理的应用【例2】(6分)在四边形ABCD中，给出下列论断：①AB∥DC；②AD∥BC；③∠A=∠C.以其中两个作为条件，另外一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题.【规范解答】在四边形ABCD中，如果AB∥DC，∠A=∠C，那么AD∥BC，如图所示：证明：∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°,…………………2分又∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°,………………………4分∴AD∥BC.…………………………………………………6分易错提醒:证明AD∥BC,用到同旁内角互补，不要用错了角.【规律总结】公理与定理的联系和区别(1)联系：公理与定理都是判断一件事情真假的句子，即都是命题，并且都是真命题，都可以作为判断其他命题真假的依据；(2)区别：公理不需要证明，而定理需要通过推理论证而得出.【跟踪训练】4.下列命题中正确的是()(A)矩形的对角线相互垂直(B)菱形的对角线相等(C)平行四边形是轴对称图形(D)等腰梯形的对角线相等【解析】选D.矩形的对角线相等,A项错误；菱形的对角线相互垂直,B项错误；平行四边形是中心对称图形,C项错误；等腰梯形的对角线相等,D正确,故选D.5.证明：两条平行线被第三条直线所截，则它们的一对同位角的角平分线互相平行.(要求画图，写出已知、求证、证明)【解析】如图所示，已知：a∥b，AB，CD分别是∠EAC和∠FCG的平分线，求证：AB∥CD.证明：∵a∥b，∴∠EAC=∠FCG，∵AB，CD分别是∠EAC和∠FCG的平分线，∴AB∥CD.11BAGEACFCGDCG22，1.下列命题是假命题的是()(A)等角的补角相等(B)内错角相等(C)任意不等于0的数的零次幂都等于1(D)两点确定一条直线【解析】选B.根据平角的定义可以证明A项正确；只有两直线平行,内错角才相等,B项错误；C项是0次幂的规定,正确；D项符合确定直线的条件,D正确.故选B.2.(2012·温州中考)下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是()(A)a=-2(B)a=-1(C)a=1(D)a=2【解析】选A.如果a=-2，则a2＞1成立，但是a＞1不成立.3.在命题“同位角相等,两直线平行”中,题设是:___________.【解析】命题中,已知是“同位角相等”,所以“同位角相等”是命题的题设部分.答案：同位角相等4.请给假命题“两个锐角的和是锐角”举出一个反例:________.【解析】例如α=50°,β=60°,α+β≥90°.答案：两锐角分别是50°，60°，这两个锐角的和是110°，不是锐角(答案不唯一)5.在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2-6n的值都是负数.于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗?请简要说明你的理由.【解析】不正确.(利用反例说明)例如：当n=7时，n2-6n=7＞0.【归纳整合】要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可；此题还有方法二：由n2-6n=n(n-6)，当n≥6时，n2-6n≥0也可说明小明的猜想不正确.