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第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法第1课时函数的概念函数的概念(1)定义：给定两个非空数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数.(2)记法：y=f(x)，x∈A.(3)定义：自变量因变量定义域值域xyA{y∈B|y=f(x)，x∈A}【思考】(1)对应关系还可以用哪些字母表示？提示：对应关系还可以用小写英文字母如g，h等表示.(2)函数的值域与集合B是什么关系？提示：函数的值域{y∈B|y=f(x)，x∈A}⊆B.(3)y=f(x)表示的是“y等于f与x的乘积”吗？提示：符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)任何两个集合都可以建立函数关系.()(2)集合A中的两个实数x可以对应集合B中的一个实数y.()(3)函数的值域即为集合B.()提示：(1)×.集合A，B应为非空数集.(2)√.符合函数的定义.(3)×.值域是集合B的子集.2.若函数定义在集合A={-1，0，1}上，f为“乘2”，则函数的值域B=________.【解析】B={-2，0，2}.答案：{-2，0，2}3.用区间表示函数f(x)=的定义域是________.【解析】由题意得x-10，所以x1，定义域为(1，+∞).答案：(1，+∞)1x1类型一函数关系的判断【典例】1.(2019·泰安高一检测)下列四个图像中，不可能是函数图像的是()2.在下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是()①A={x|x∈Z}，B={y|y∈Z}，f为“除以3”；②A={x|x0，x∈R}，B={y|y∈R}，f为“求3x的平方根”；③A=R，B=R，f为“求平方”；④A={x|-1≤x≤1，x∈R}，B={0}，f为“乘以0”.A.①④B.②③④C.②③D.③④【思维·引】1.作与x轴垂直的直线，此直线与函数的图像至多有一个公共点.2.先看集合A、B是否为非空数集，再判断非空数集A中任取一个数，在非空数集B中是否有唯一的数与之对应，若不是，则不是函数.【解析】1.选B.根据题意，对于选项A，对于任意的x，有唯一确定的y与其对应，故成立，对于B，由于一个x，可有两个y对应，不成立，对于C，由于满足对于任意的x，有唯一确定的y与其对应，因此是函数图像，对于D，也是作一条垂直于x轴的直线，交点至多一个即可.2.选D.①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③④符合函数的定义.【内化·悟】理解函数的概念，需要把握哪几个要点？提示：(1)集合A，B是非空数集；(2)强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.这三性只要有一个不满足，便不能构成函数.【类题·通】1.判断一个对应是否是函数的方法2.根据图形判断对应是否为函数的步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.如图所示：【习练·破】已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，在下列A到B的四种对应关系中，存在函数关系的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.根据函数的定义可知，集合A中每一个实数在B中都有唯一确定的实数与之对应，其中①③均满足函数的定义.【加练·固】如图可作为函数y=f(x)的图像的是()【解析】选D.观察图像可知，A，B，C中任取一个x的值，y有可能有多个值与之对应，所以不是函数图像.D中图像是函数图像.类型二求函数的定义域【典例】1.函数y=的定义域为()A.(-∞，-5)∪(-5，5)∪(5，+∞)B.[4，+∞)C.(4，5)D.[4，5)∪(5，+∞)x4|x|52.设全集为R，函数f(x)=的定义域为M，则∁RM=世纪金榜导学号()A.{x|x≥2或x=-1}B.{x|x2且x≠-1}C.{x|x≥2}D.{x|x2或x=-1}0(x1)2x【思维·引】1.根据被开方数大于等于0，分母不等于0求范围.2.根据被开方数大于等于0，分母不等于0，0次幂的底数不等于0求范围.【解析】1.选D.因为函数有意义当且仅当解得4≤x5或x5，故函数y=的定义域为[4，5)∪(5，+∞).x40,|x|50,x4|x|52.选A.因为函数有意义当且仅当解得x2且x≠-1，所以M={x|x2且x≠-1}，所以∁RM={x|x≥2或x=-1}.x10,2x0.【内化·悟】求函数的定义域时需要关注哪些方面？提示：关注解析式中是否含有分式、根号、零次幂.【类题·通】已知函数的解析式，求函数的定义域(1)本质：求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围.(2)常见题型①如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.②如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.③如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.④y=x0要求x≠0.⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集).【习练·破】1.函数f(x)=的定义域为()A.[-3，-1)∪(-1，+∞)B.(-3，-1)∪(-1，+∞)C.[-1，+∞)D.[-3，+∞)1x3x1【解析】选A.因为函数有意义当且仅当解得x≥-3，且x≠-1，所以f(x)的定义域为：[-3，-1)∪(-1，+∞).x30,x10.2.函数y=的定义域为________.2x2x3【解析】令-x2+2x+3≥0，即x2-2x-3≤0，解得-1≤x≤3，所以函数的定义为[-1，3].答案：[-1，3]【加练·固】函数y=的定义域为()2x111A(,)B[,)2211C(,]D(,)22．．．．【解析】选B.由题意得：2x+1≥0，解得x≥故函数的定义域是12，1[).2，类型三函数对应关系的应用角度1对应关系的选取【典例】已知A={x|0≤x≤9}，B={y|0≤x≤3}，下列对应关系不表示定义在A上的函数的是()A.f为“乘”B.f为“乘”C.f为“乘”D.f为“求算术平方根”121314【思维·引】根据函数的定义判断.【解析】选A.对于对应f：“乘”，x=9∈A时，y=4.5∉B，所以此对应关系不是定义在集合A上的函数，B，C，D均是定义在集合A上的函数.12【素养·探】在判断函数关系时，常常用到核心素养中的逻辑推理，根据函数的定义判断对应关系是否构成函数关系.本例中，若f为“求平方根”，则f是否是定义在集合A上的函数？【解析】因为任何一个正数都有两个平方根，故集合A中的任何一个正数都对应两个实数，不符合函数的定义，故f不是定义在集合A上的函数.角度2利用对应关系求值【典例】已知f为“平方加1”是定义在集合A上的函数，那么值域中的元素5在集合A中对应的元素是()世纪金榜导学号A.26B.2C.-2D.±2【思维·引】设对应的元素为x，列方程求值.【解析】选D.因为f为“平方加1”，设集合A中对应的元素为x，由5=x2+1，得x=±2，所以值域中元素5在A中对应的元素为±2.【类题·通】1.关于对应关系的选择根本的方法是依据函数的定义进行判断，判断时可以借助区间的端点值、区间中的特殊值进行验证、排除，另外值域一定是集合B的子集.2.关于利用对应关系求值利用对应关系建立定义域A中的x与值域中的y之间的方程，通过解方程求值，其中x可以是一个或多个，而y值只能是一个.【习练·破】已知A=B=R，x∈A，y∈B，对应关系f为“乘以a加b”是定义在集合A上的函数，若集合A中的3和10分别对应集合B中的1和8，则5对应的元素是()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.A=B=R，x∈A，y∈B，f为“乘以a加b”，所以有解得：即f为“乘以1减2”，5在f下的函数值f(5)=1×5-2=3.3ab1,10ab8,a1,b2,