2020版新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法课件 新人教B版必修

2.2.3一元二次不等式的解法1.一元二次不等式的概念形如ax2+bx+c0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.式中的不等号也可以是“”“≥”“≤”等.【思考】(1)不等式x2+0是一元二次不等式吗？提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式.(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？提示：不可以，若a=0，就不是二次不等式了.2x2.一元二次不等式的解法(1)因式分解法：如果x1x2，则不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是(x1，x2)；不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是(-∞，x1)∪(x2，+∞).(2)配方法：一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2k或(x-h)2k的形式，再由k值情况，可得原不等式的解集，如下表：k0k=0k0(x-h)2k转化为|x-h|，解集为(-∞，h-)∪(h+，+∞)(-∞，h)∪(h，+∞)R(x-h)2k转化为|x-h|，解集为(h-，h+)⌀⌀kkkkkk【思考】(1)因式分解法的实质是什么？提示：通过对不等式的左边进行因式分解，转化为等价不等式组求解.(2)配方法的实质是什么？提示：通过对不等式左边进行配方，转化为绝对值不等式求解.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)mx2-5x0是一元二次不等式.()(2)若方程ax2+bx+c=0可以变形为a(x-1)(x+1)=0，则ax2+bx+c0的解集为(-1，1).()(3)一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2k或(x-h)2k的形式.()提示：(1)×.当m=0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式.(2)×.当a0时，ax2+bx+c0的解集为(-1，1).(3)√.2.不等式2x≤x2+1的解集为()A.∅B.RC.{x|x≠1}D.{x|x1或x-1}【解析】选B.2x≤x2+1⇔x2-2x+1≥0⇔(x-1)2≥0，所以x∈R.3.不等式(2x-5)(x+3)0的解集为________.【解析】原不等式可化为，所以，所以原不等式的解集为.答案：5(x)(x3)025(3)2，53x25(3)2，类型一解一元二次不等式角度1因式分解法【典例】已知集合A={x|x2-x-20}，则∁RA=()世纪金榜导学号A.{x|-1x2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x-1}∪{x|x2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【思维·引】解一元二次不等式可得集合A，再求其补集即可.【解析】选B.由x2-x-20左边因式分解得(x+1)(x-2)0，解得x-1或x2，则A={x|x-1或x2}，所以∁RA={x|-1≤x≤2}.【素养·探】本例考查一元二次不等式的解法与集合的运算，同时考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.本例若改为：设集合A={x|x2-4x+30}，B={x|2x-30}，则A∩B=()【解析】选D.由x2-4x+30，得(x-1)(x-3)0，解得1x3，所以A=(1，3).由2x-30，解得x，所以B=.所以A∩B=.33A.(3)B.(3)2233C.(1)D.(3)22，，，，3(3)2，323()2，角度2配方法【典例】解下列不等式(1)3x2-5x-20.(2)-x2+6x-100.【思维·引】用配方法解答.【解析】(1)原不等式可化为，因为，所以原不等式可化为，两边开平方得，所以，即，所以原不等式的解集为.252xx03325xx322549(x)36362549(x)63657|x|66757x6661x231(2)3，(2)原不等式可化为x2-6x+100，因为x2-6x+10=(x-3)2+1，所以原不等式可化为(x-3)2-1，因为(x-3)2≥0恒成立，故原不等式的解集为⌀.【类题·通】利用配方法解一元二次不等式的步骤：(1)把一元二次不等式的二次项系数化为1.(2)一元二次不等式通过配方变为(x-h)2k或(x-h)2k的形式.(3)根据k值情况确定不等式的解集.【习练·破】1.(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2+x-20成立的x的取值范围为________.【解析】3x2+x-20，即(x+1)(3x-2)0，即-1x，故x的取值范围是.答案：2(1)3，232(1)3，2.解下列不等式(1)-3x2+6x≤2.(2)4x2-12x+90.【解析】(1)原不等式可化为，因为，所以原不等式可化为，两边开平方得，所以，所以原不等式的解集为.22x2x032221x2x(x1)332(x1)133|x1|333x1x133或3333{x|xx}33或(2)原不等式可化为x2-3x+0，因为，所以原不等式可化为，所以只要，不等式即成立，所以原不等式的解集为.942293x3x(x)4223(x)023x233()()22，，【加练·固】解不等式(1)2x2-3x-20.(2)x2-2x+20.【解析】(1)由2x2-3x-20得(x-2)(2x+1)0，解得-x2，所以原不等式的解集为.(2)因为x2-2x+2=(x-1)2+1，所以原不等式可化为(x-1)2-1，显然成立，所以原不等式的解集为R.121(2)2，类型二解简单的分式不等式【典例】1.不等式0的解集是________.2.解不等式≤2.世纪金榜导学号【思维·引】先把分式不等式转化为整式不等式后再求解.2xx4－＋x1x2＋－【解析】1.因为0，所以(x-2)(x+4)0，故-4x2.答案：2xx4－＋{x|4x2}2.由题意x-2≠0，所以(x-2)20原不等式两边同乘以(x-2)2得：(x+1)(x-2)≤2(x-2)2且x-2≠0，即(x-2)(-x+5)≤0，所以(x-2)(x-5)≥0，所以x2或x≥5，所以原不等式的解集为：(-∞，2)∪[5，+∞).【内化·悟】1.解分式不等式的思想方法是什么？提示：转化思想.2.解分式不等式要注意什么？提示：分母不为零.【类题·通】解分式不等式的关注点(1)根据是实数运算的符号法则，分式不等式经过同解变形可化为四种类型，解题思路如下：①0⇔f(x)g(x)0；②0⇔f(x)g(x)0；f(x)g(x)f(x)g(x)③≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)0或f(x)=0；④≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)0或f(x)=0.f(x)g(x)f(x)g(x)(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先两边同时乘以分母的平方去分母，再移项，因式分解，转化为用上述方法求解.【习练·破】不等式≥0的解集为()x12x1－＋11A.{x|x1}B.{x|x1}2211C.{x|xx1}D.{x|xx1}22或或【解析】选C.原不等式等价于(x-1)(2x+1)0或x-1=0，解得x-或x1或x=1，所以原不等式的解集为.121{x|xx1}2或【加练·固】解不等式1.【解析】由题意x+3≠0，所以(x+3)20，原不等式两边同乘以(x+3)2得：(2-x)(x+3)(x+3)2且x+3≠0，即(x+3)(-2x-1)0，所以(x+3)(2x+1)0，故-3x-，故原不等式的解集为.2xx3121(3)2，类型三一元二次不等式的实际应用【典例】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.世纪金榜导学号(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式.(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.【思维·引】由题意构建函数关系或不等式解决问题.【解析】(1)降低税率后的税率为(10-x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额为200a(1+2x%).依题意：y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(100+2x)(10-x)(0x10).150(2)原计划税收为200a·10%=20a(万元).依题意得：a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%，化简得，x2+40x-84≤0，所以-42≤x≤2.又因为0x10，所以0x≤2.所以x的取值范围是{x|0x≤2}.150【内化·悟】求实际应用问题中未知数的取值范围，应注意什么隐含信息？提示：应注意未知数具有的“实际含义”，隐含着其取值范围的限制.【类题·通】解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系.(3)求：解不等式.(4)答：回答实际问题.特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.【习练·破】某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24).(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？6t(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？【解析】(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则y=400+60t-120(0≤t≤24).令x=，则t=，所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12)，所以当x=6，即t=6时，ymin=40，6t6t2x6即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨.(2)由已知400+10x2-120x80，得x2-12x+320，解得4x8，即，而，所以每天约有8小时供水紧张.83246t8t33，328833＝【加练·固】有一批净水机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类净水机，问去哪家商场购买花费较少？【解析】设该单位需购买x台净水机，甲、乙两商场的购货款的差价为y元，则因为去甲商场购买共花费(800-20x)x，据题意，800-20x≥440，所以1≤x≤18.去乙商场购买共花费600x，x∈N*，所以y=(x∈N*)=(x∈N*)得(80020x)x600x1x18,440x600x18x，，2200x20x1x18160x18x，y01x10(xN*)y0x10y0x10(xN*).，，，故若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少.