2020版新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.1 不等式及其性质课件 新人教B版必修1

2.2不等式2.2.1不等式及其性质1.不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点.(1)不等符号，，≤，≥或≠.(2)所表示的关系是不等关系.【思考】(1)不等号“≤，≥”的读法分别是什么？提示：“≤”读作小于或者等于，“≥”读作大于或者等于.(2)不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“ab”与“a=b”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提示：不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是指“或者ab或者a=b”，等价于“a不大于b”，即若ab与a=b之中有一个正确，则a≤b正确.2.比较两个实数大小的方法(1)画数轴比较法依据①实数与数轴上的点一一对应②如果点P对应的数为x，则x为点P的坐标，并记作P(x)结论数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大.(2)作差比较法依据如果a-b0，那么ab如果a-b0，那么ab如果a-b=0，那么a=b结论确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a-b与0的大小关系【思考】(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？提示：是任意实数.(2)若“b-a0”，则a，b的大小关系是怎样的？提示：ba.3.不等式的性质性质1ab⇒a+cb+c性质2ab，c0⇒acbc性质3ab，c0⇒acbc性质4ab，bc⇒ac性质5ab⇔ba4.不等式性质的推论推论1a+bc⇒ac-b推论2ab，cd⇒a+cb+d推论3ab0，cd0⇒acbd推论4ab0⇒anbn(n∈N，n1)推论5ab0⇒___ab【思考】(1)性质2，3可以概括为在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？提示：不对.要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向.(2)推论1类似于解方程中的什么法则？提示：移项法则.(3)使用推论3，4，5时，要注意什么条件？提示：各个数均为正数.5.证明问题的常用方法(1)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法.(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.(3)反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.反证法是一种间接证明的方法.【思考】(1)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因.(2)反证法的实质是什么？提示：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(2)两个实数a，b之间，有且只有ab，a=b，ab三种关系中的一种.()(3)若ab，则ac2bc2.()(4)若a+cb+d，则ab，cd.()提示：(1)√.不等式x≥2表示x2或x=2，即x不小于2.(2)√.任意两数之间，有且只有ab，a=b，ab三种关系中的一种，没有其他大小关系.(3)×.由不等式的性质，ac2bc2⇒ab；反之，c=0时，abac2bc2.(4)×.取a=4，c=5，b=6，d=2，满足a+cb+d，但不满足ab，故此说法错误.2.设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是()A.a-cb-dB.acbdC.a+cb+dD.a+db+c【解析】选C.因为ba，dc，所以b+da+c.3.已知x1，则x2+2与3x的大小关系为________.【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1)，而x1，所以x-20，x-10，所以x2+2-3x0，所以x2+23x.答案：x2+23x类型一作差法比较大小【典例】比较下列各式的大小：(1)当x≤1时，比较3x3与3x2-x+1的大小.(2)当x，y，z∈R时，比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.【思维·引】利用作差法比较，先作差、化简，再判断差的符号.【解析】(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因为x≤1，所以x-1≤0，而3x2+10.所以(3x2+1)(x-1)≤0，所以3x3≤3x2-x+1.(2)因为5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0，所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2，当且仅当x=y=且z=1时取到等号.12【素养·探】本例考查作差法比较大小，突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.本例(1)中，若把条件“x≤1”去掉，试比较所给两式的大小.【解析】去掉条件“x≤1”后需对差的符号进行讨论.显然3x2+10，所以当x1时，(3x2+1)(x-1)0，所以3x33x2-x+1；当x=1时，(3x2+1)(x-1)=0，所以3x3=3x2-x+1；当x1时，(3x2+1)(x-1)0，所以3x33x2-x+1.【类题·通】作差法比较大小的步骤【习练·破】已知x，y∈R，P=2x2-xy+1，Q=2x-，试比较P，Q的大小.【解析】因为P-Q=2x2-xy+1-=x2-xy++x2-2x+1=+(x-1)2≥0，所以P≥Q.2y42y(2x)42y(x)22y4【加练·固】比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x2+3与2x；(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.【解析】(1)(x2+3)-2x=x2-2x+3=(x-1)2+2≥20，所以x2+32x.(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)，因为a0，b0，且a≠b，所以(a-b)20，a+b0.所以(a3+b3)-(a2b+ab2)0，即a3+b3a2b+ab2.类型二利用不等式的性质判断命题真假【典例】下列命题中一定正确的是()世纪金榜导学号A.若ab且，则a0，b0B.若ab，b≠0，则111ababC.若ab，且a+cb+d，则cdD.若ab且acbd，则以cd【思维·引】利用不等式的性质和特殊值检验求解.【解析】选A.对于A项，因为，所以0，即0，又ab，所以b-a0，所以ab0，所以a0，b0；对于B项，当a0，b0时，有01，故B项错；对于C项，当a=10，b=3时，虽有10+13+2，但12，故C项错；11ab11abbaabab对于D项，当a=-1，b=-2时，有(-1)×(-1)(-2)×7，但-17，故D项错.【素养·探】利用不等式的性质判断命题真假，突出考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是()A.若ab，则ac2bc2B.若ab0，则C.若ab0，则D.若a|b|，则a2b211abbaab【解析】选D.当c=0时，有ac2=bc2，故A为假命题；当ab0，有，故B为假命题；ab0⇒-a-b0⇒⇒，故C为假命题；若a|b|≥0，则a2b2，故D为真命题.11ab110baabba【类题·通】1.运用不等式的性质判断命题真假的技巧(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质.(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.2.倒数性质：(1)若ab0，则.(2)若0ab，则.即ab，ab0⇒.11ab11ab11ab【习练·破】若abc，则下列不等式成立的是()A.B.C.acbcD.acbc【解析】选B.因为abc，所以a-cb-c0.所以.11acbc＞－－11acbc＜－－11acbc＜－－【加练·固】设a1b-1，则下列不等式中恒成立的是()A.B.C.a22bD.ab211ab11ab【解析】选D.A错，例如a=2，b=-时，，=-2，此时，；B错，例如a=2，b=时，，=2，此时，；C错，例如时，，此时a22b；由a1，b21得ab2.1211a2＝1b11ab1211a2＝1b11ab515ab416＝，＝22530a2b1616＝，＝类型三利用不等式的性质证明不等式角度1综合法【典例】已知ab0，cd0，e0，求证：.eeacbd【思维·引】本题可利用不等式的性质进行证明，也可以作差进行证明.【证明】方法一：因为cd0，所以-c-d0，因为ab0，所以a-cb-d0，所以0，又因为e0，所以.方法二：，因为ab0，cd0，所以-c-d0，所以a-c0，b-d0，11acbdeeacbdeee[(bd)(ac)]e[(ba)(cd)]acbd(ac)(bd)(ac)(bd)b-a0，c-d0，又e0，所以0，所以.e[(ba)(cd)](ac)(bd)eeacbd【素养·探】本题主要考查不等式的基本性质，同时考查了逻辑推理的核心素养.本例条件不变，结论改为求证，请证明.22ee(ac)(bd)【证明】因为cd0，所以-c-d0，因为ab0，所以a-cb-d0，所以(a-c)2(b-d)20，所以0，又e0，所以.22ee(ac)(bd)2211(ac)(bd)角度2分析法与反证法【典例】证明：.世纪金榜导学号【思维·引】根据问题特点可选用分析法证明，也可用反证法证明.7362－－【证明】方法一：分析法：要证，只需证，只需证，展开得，只需证，即证1418，显然成立，所以.7362－－7236＋＋22(72)(36)＋＋9214921814187362－－方法二：反证法：假设，则，两边平方得，所以，即14≥18，显然不成立，所以假设错误.所以.7362－－723＋6＋9214921814187362－－方法三：运用变形后再证.4473627362，【类题·通】1.利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点(1)实质：就是根据性质把不等式变形.(2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2.证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法.【习练·破】1.将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2+b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立.22ab2＋22ab2＋【解析】用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2+b2≥2ab，也就是证a2+b2-2ab≥0，即证(a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0显然成立，所以原不等式成立.答案：a2+b2-2ab≥0(a-b)2≥0(a-b)2≥022ab2＋22ab2＋2.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号