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4.6两条平行线间的距离【知识再现】1.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的_________.2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,___________最短.距离垂线段【新知预习】阅读教材P104-105,解决以下问题:1.(1)公垂线:与两条平行直线都垂直的直线,叫做这两条平行直线的___________.(2)公垂线段:连接两个垂足的线段,叫做这两条平行直线的_____________.公垂线公垂线段(3)两条平行线上各取一点连接而成的所有线段中,_____________最短.2.公垂线段定理:两条平行线的所有公垂线段都_________.3.两条平行线间的距离:两条平行线的_____________的长度.公垂线段相等公垂线段【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.两条平行线的公垂线段有()A.1条B.2条C.3条D.无数条D2.如图,a∥b,点P在直线a上,点A,B,C都在直线b上,PA⊥AC,且PA=2cm,PB=3cm,PC=4cm,则直线a,b间的距离为______cm.2知识点利用公垂线段的性质解题(P106练习2拓展)【典例】如图所示,直线AE∥BD,点C在BD上,若AE=7,BD=3,△ABD的面积为12,求△ACE的面积.世纪金榜导学号【自主解答】在△ABD中,当BD为底时,设高为h,在△ACE中,当AE为底时,设高为h′,因为AE∥BD,所以h=h′,因为△ABD的面积为12,BD=3,所以h=8,所以△ACE的面积为×7×8=28.12【学霸提醒】1.在求两平行线间的距离时,一般要把问题转化为点到直线的距离.2.在两平行线中的一条直线上选择一个点,然后过该点作另一条平行线的垂线,这一点和垂足之间的线段就是两平行线的公垂线段.【题组训练】1.如图是一个长方形,则图中表示AD与BC之间的公垂线段的有()A.1条B.2条C.3条D.4条B★2.如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,交CD于F,直线MN交AB于M,交CD于N,交EF于O,则直线AB和CD之间的公垂线段是()A.线段MNB.线段EFC.线段OED.线段OFB★3.已知l1∥l2∥l3,l1与l2之间的距离为3cm,l2与l3之间的距离为4cm,则l1与l3之间的距离为_________________.世纪金榜导学号7cm或1cm★★4.如图,已知AB∥CD,AD∥BC,AC=15cm,BC=12cm,BE⊥AC于点E,BE=10cm.求AD和BC之间的距离.世纪金榜导学号解:过点A作BC的垂线,交BC于P点,S△ABC=×AC×BE=×15×10=75(cm2),又因为S△ABC=×BC×AP=×12×AP=75(cm2),所以AP=12.5cm.因此AD和BC之间的距离为12.5cm.12121212【火眼金睛】如图,AB∥EF,C是EF上一个动点,当点C的位置变化时,三角形ABC的面积将()A.变大B.变小C.不变D.变大变小要看点C向左还是向右移动【正解】选C.根据两平行线间的距离处处相等知三角形ABC的边AB上的高不变,所以三角形ABC的面积不变.【一题多变】如图,在直线MN的异侧有A,B两点,按要求画图取点,并注明画图取点的依据.(1)在直线MN上取一点C,使线段AC最短.依据是__________________.(2)在直线MN上取一点D,使线段AD+BD最短.依据是__________________.解:(1)过A作AC⊥MN,依据是垂线段最短.(2)连接AB交MN于D,依据是两点之间线段最短.【母题变式】【变式一】如图所示,AB是一条河流,要铺设管道将河水引到C,D两个用水点,现有两种铺设管道的方案.方案一:分别过C,D作AB的垂线,垂足分别为E,F,沿CE,DF铺设管道;方案二:连接CD交AB于点P,沿PC,PD铺设管道.问:这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料,为什么?解:按方案一铺设管道更节省材料.理由如下:因为CE⊥AB,DF⊥AB,而AB与CD不垂直,所以根据“垂线段最短”,可知DFDP,CECP,所以CE+DFCP+DP,所以沿CE,DF铺设管道更节省材料.【变式二】如图所示,修一条路将A,B两村庄与公路MN连起来,怎样修才能使所修的公路最短?画出线路图,并说明理由.解:连接AB,作BC⊥MN,C是垂足,线段AB和BC就是符合题意的线路图.因为从A到B,线段AB最短,从B到MN,垂线段BC最短,所以AB+BC最短.【变式三】如图,平原上有A,B,C,D四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.(1)不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H点的位置,使它到四个村庄距离之和最小.(2)计划把河水引入蓄水池H中,怎样开渠最短并说明根据.解:(1)因为两点之间线段最短,所以连接AD,BC交于H,则H为蓄水池位置,它到四个村庄距离之和最小.(2)过H作HG⊥EF,垂足为G,沿HG开渠最短.其依据是:“过直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短”.