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3.2提公因式法【知识再现】1.如果把一个多项式表示成若干个多项式_________的形式,称为把这个多项式_____________.乘积因式分解2.对于单项式与多项式相乘的法则,m(a+b+c)=ma+mb+mc的逆运算可表示为______________________.ma+mb+mc=m(a+b+c)【新知预习】阅读教材P59【说一说】和【例题】,解决下面的问题,并归纳结论:(1)多项式3x2-6x各项都含有的因式是_______,所以3x2-6x=3x·__________.(2)多项式mb2+nb3-b4各项都含有的因式是______,所以mb2+nb3-b4=b2·_____________.3x(x-2)b2(m+nb-b2)观察上述问题,我发现的规律是:(1)公因式的定义:几个多项式的_________的因式称为它们的公因式.(2)提公因式法:如果一个多项式的各项有___________,把公因式提到_____________,从而把多项式因式分解的方法.公共公因式括号外面【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.在下列多项式中,没有公因式可提的是()A.3x-4y2B.3x+4xyC.4x2-3xyD.4x2+3x2yA2.对多项式4x2-2x因式分解,可提取的公因式为_______.3.用提公因式法因式分解:m2(a-2)+m(a-2).解:原式=m(a-2)(m+1).2x知识点一提取公因式为单项式的因式分解运算(P59-60例1,2,3拓展)【典例1】因式分解:(1)a4b3-a3b4.(2)-15xn+45xn-1.2323(3)-10a2bc+15bc2+20ab2c.【思路点拨】在提公因式时,数字系数要取各个系数的最大公因数,含相同字母幂要取字母的最低次幂.【自主解答】(1)a4b3-a3b4=a3b3(a-b).(2)-15xn+45xn-1=-15xn-1(x-3).(3)-10a2bc+15bc2+20ab2c=-5bc(2a2-3c-4ab).232323【学霸提醒】提公因式法因式分解的“三个步骤”第一步:确定公因式;第二步:把多项式中的每一项变形为含有公因式积的形式;第三步:提取多项式中的公因式.【题组训练】1.多项式20a2x-15ax2的公因式为()A.5axB.5a2x2C.-5axD.-5a2x2A★2.多项式-4x3+8x2-16x因式分解的结果为()A.-x(4x2-8x-16)B.x(-4x2+8x+16)C.4(-x2+2x+4x)D.-4x(x2-2x+4)D★3.对于多项式8m3n2+4m2n3-12mn2,公因式为________.★★4.对于多项式3xmyn+2-9xm-1yn+1,因式分解的结果为__________________.世纪金榜导学号★★5.因式分解:世纪金榜导学号4mn23xm-1yn+1(xy-3)(1)12xyz-9x2y2.(2)-x2+xy-xz.(3)a2b+5ab-b.解:(1)12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy).(2)-x2+xy-xz=-x(x-y+z).(3)a2b+5ab-b=b(a2+5a-1).知识点二提取公因式含多项式的因式分解运算(P61例4,5,6拓展)【典例2】因式分解:(1)4x(m-2)-6x2(2-m)2.(2)9x(x+y)(x-y)-6x(x+y)2(x-y)-12x(x+y)(x-y)2.【思路点拨】首先要准确找出多项式中的公因式,再提公因式进行因式分解.【自主解答】(1)4x(m-2)-6x2(2-m)2=4x(m-2)-6x2(m-2)2=2x(m-2)(2-3mx+6x).(2)9x(x+y)(x-y)-6x(x+y)2(x-y)-12x(x+y)(x-y)2=3x(x+y)(x-y)(3-2x-2y-4x+4y)=3x(x+y)(x-y)(3-6x+2y).【学霸提醒】提公因式法进行分解因式时应注意的事项(1)若多项式的首项为负数,为使提公因式后括号里首项不含负号,可提一个带负号的公因式.(2)结果中出现相同因式时写成乘方的形式,公因式中字母也可以是整式.(3)多项式中某一项全提公因式后不要漏掉“1”这一项.(4)提公因式,要一次提“全”提“尽”,直到不能再分解为止.【题组训练】1.下列因式分解正确的是()A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1)B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1)C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2)D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y)A★2.多项式(x2+3x)-3(x+3)因式分解的结果为_______________.★3.如果a(a-b)2-(b-a)=(a-b)·G,那么G表示的式子是___________.(x+3)(x-3)a2-ab+1★4.因式分解:世纪金榜导学号(1)2x(a-b)+3y(b-a).(2)x(x2-xy)-(4x2-4xy).解:(1)原式=2x(a-b)-3y(a-b)=(a-b)(2x-3y).(2)原式=x2(x-y)-4x(x-y)=x(x-y)(x-4).★★5.某学校有三块草坪,第一块草坪的面积为(a+b)2,第二块草坪的面积为a(a+b),第三块草坪的面积为b(a+b),求三块草坪的总面积.世纪金榜导学号解:(a+b)2+a(a+b)+b(a+b)=(a+b)[(a+b)+a+b]=(a+b)(2a+2b)=2(a+b)(a+b)=2(a+b)2.答:三块草坪的总面积为2(a+b)2.【火眼金睛】因式分解:15a2+45ab+5a【正解】原式=5a(3a+9b+1).【一题多变】已知x+y=6,xy=4,求下列各式的值:(1)x2y+xy2.(2)x2+y2.解:(1)当x+y=6,xy=4时,原式=xy(x+y)=4×6=24.(2)当x+y=6,xy=4时,原式=(x+y)2-2xy=62-2×4=36-8=28.【母题变式】已知:x,y满足:(x+y)2=5,(x-y)2=41,求x3y+xy3的值.解:因为(x+y)2=5,(x-y)2=41,所以(x+y)2+(x-y)2=46,则x2+2xy+y2+x2-2xy+y2=46,2(x2+y2)=46,故x2+y2=23,因为(x+y)2-(x-y)2=-36,则x2+2xy+y2-x2+2xy-y2=-36,故4xy=-36,则xy=-9,x3y+xy3=xy(x2+y2)=-9×23=-207.