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第3章因式分解3.1多项式的因式分解【知识再现】1.单项式与多项式相乘,就是根据_____________律用单项式去乘多项式的___________,再把所得的积________.用字母表示为m(a+b+c)=_____________.乘法分配每一项相加ma+mb+mc2.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的___________分别乘另一个多项式的___________,再把所得的积__________.用字母表示为(m+n)(a+b)=________________.每一项每一项相加ma+mb+na+nb【新知预习】阅读教材P55【说一说】和P56【例题】,解决下面的问题,并归纳结论:计算下列各题:①30=______×______×______.②1-9a2=_____________________.235(1+3a)(1-3a)观察上述各式和计算结果,问题①中的整数30,存在因数2、______和______;问题②中的多项式1-9a2,存在因式___________和___________.35(1+3a)(1-3a)你发现的规律:1.因式对于两个多项式f与g,如果有多项式h使f=_______,那么把g叫做______的一个因式.此时,h也是______的一个因式.ghff2.因式分解把一个多项式表示成若干个多项式的_________的形式,称为把这个多项式因式分解.3.因式分解与整式乘法的关系乘积【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.下列各式由左到右的变形是因式分解的是()A.x2-5x+6=x(x-5)+6B.x2-5x+6=(x-2)(x-3)BC.(x-2)(x-3)=x2-5x+6D.x2-5x+6=(x+2)(x+3)2.式子5a2-5a=5a(a-1)的变形是_____________.(填“因式分解”或“整式乘法”)3.已知多项式M可因式分解为3(1+2x)(-2x+1),求M.解:M=3(1+2x)(-2x+1)=3(1-4x2)=3-12x2.因式分解知识点一因式分解的概念(P56例1拓展)【典例1】下列由左到右的变形,哪些是因式分解?哪些不是因式分解?并写明理由.(1)(x+3)(x-3)=x2-9.(2)x2+3x-10=(x+5)(x-2).(3)x2-9+2x=(x+3)(x-3)+2x.(4)4a2-4ab+b2=(2a-b)2.【思路点拨】判断等式变形是不是因式分解,关键看多项式是不是由代数和的形式转化为整式乘积的形式.【自主解答】(2)和(4)是因式分解,是把多项式由代数和形式变成乘积的形式;(1)和(3)不是因式分解,(1)是进行整式的乘法运算,(3)没有化成乘积的形式.【学霸提醒】因式分解的三个注意问题1.因式分解的对象必须是多项式.2.因式分解的结果必须是积的形式.3.因式分解结果中每个因式都必须是整式.【题组训练】1.下列由左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x+y)=ax+ayB.ax2-9a=a(x+3)(x-3)BC.(x-4)2=x2-8x+16D.x2-4+5x=(x+2)(x-2)+5x★2.x2+x-6=(x-2)(x+3)是把多项式__________化成________与________的积的形式,这是多项式的_____________.★3.已知(x+2)(x-2)=x2-4,(x+2)·__________=(x+2)2,故x2-4和(x+2)2都含有的因式为________.x2+x-6x-2x+3因式分解(x+2)x+2★★4.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?世纪金榜导学号(1)24x2y=4x·6xy.(2)(x+5)(x-5)=x2-25.(3)x2+2x-3=(x+3)(x-1).(4)9x2-6x+1=3x(3x-2)+1.(5)x2+1=x.1(x)x解:(1)因式分解是针对多项式来说的,故(1)不是因式分解.(2)右边不是整式积的形式,不是因式分解.(3)是因式分解.(4)右边不是整式积的形式,不是因式分解.(5)右边不是整式积的形式,不是因式分解.则(1)(2)(4)(5)不是因式分解,(3)是因式分解.知识点二因式分解与整式乘法的关系(P56例2拓展)【典例2】甲、乙两个同学进行因式分解x2+ax+b时,甲看错了b,分解的结果为(x+2)(x+4);乙看错了a,分解的结果为(x+1)(x+9),求a+b的值.世纪金榜导学号【思路点拨】由于整式乘法与因式分解是互逆运算,所以可以利用整式乘法运算来解决问题.【自主解答】(x+2)(x+4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8.因为甲看错了b,所以a=6.(x+1)(x+9)=x2+9x+x+9=x2+10x+9.因为乙看错了a,所以b=9,所以a+b=15.【学霸提醒】因式分解与整式乘法的联系与区别1.联系:因式分解与整式乘法是两种互逆的恒等变形,因此因式分解的结果是否正确,可以用整式乘法来检验.2.区别:整式的乘法是几个整式相乘,其结果是和的形式,因式分解是将多项式化成几个整式的积的形式,其结果是积的形式,因此整式的乘法是:“积化和”,因式分解是“和化积”.【题组训练】1.把多项式x2+ax+b因式分解,得(x+1)(x-3),则a,b的值分别是()A.a=2,b=3B.a=-2,b=-3C.a=-2,b=3D.a=2,b=-3B★2.下列多项式因式分解的结果是-(a+2b)(a-2b)的是()A.a2-4b2B.a2+4b2C.-a2-4b2D.-a2+4b2D★3.若4x3-6x2=2x2(2x+k),则k=_______.世纪金榜导学号-3★★4.已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因式分解的结果是(2x-1),求m,n的值.世纪金榜导学号1(x)4解:(2x-1)=2x2+x-x-=2x2-x-.则m=-,n=-.1(x)4121412141214★★5.已知多项式x4+2x3-x+m能因式分解,且有一个因式为x-1.(1)当x=1时,求多项式x4+2x3-x+m的值.(2)根据(1)的结果,求m的值.(3)仿照(1)的方法,试判断x+2是不是多项式x4+2x3-x+m的一个因式.解:(1)根据题意得x4+2x3-x+m=(x3+ax2+bx+c)(x-1),当x=1时,x4+2x3-x+m=0.(2)由(1)知m=-2.(3)由x+2=0得x=-2,当x=-2时,x4+2x3-x-2=16-16+2-2=0,所以x+2是多项式的一个因式.【火眼金睛】x2-2x-15=(x+5)(x-3)是因式分解吗?为什么?【正解】不是因式分解.因为x2-2x-15=(x-5)(x+3)题干所给等式左右两边不相等.所以,不是因式分解.【一题多变】如果多项式x2+px-6可以因式分解为(x+q)(x-2),求(p-q)2的值.解:(x+q)(x-2)=x2-2x+qx-2q=x2+(-2+q)x-2q.所以解得所以(p-q)2=(1-3)2=4.p2q,2q6,p1,q3，【母题变式】【变式一】(变换条件和结论)如果多项式x2+px-6有一个因式是(x+3),求另一个因式及p的值.解:设另一个因式是(x+n),则x2+px-6=(x+3)(x+n),即x2+px-6=x2+(3+n)x+3n.所以解得故另一个因式为(x-2),p的值为1.p3n,3n6,p1,n2.【变式二】(变换结论)若多项式x2+px-6可以因式分解为(x+m)(x+n),其中m,n为整数,求符合条件的p的值.解:由题意知:x2+px-6=(x+m)(x+n).整理得,x2+px-6=x2+(m+n)x+mn.所以因为m,n为整数,所以m,n满足的值分别为:pmn,mn6.m2,m2,m3,m3,n3,n3,n2.n2.m1,m1,m6,m6,n6,n6,n1,n1.所以p的值可能为:1,-1,-5,5.