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6直线和圆的位置关系第2课时【知识再现】直线与圆相切：直线与圆有_______________时，直线与圆相切.唯一公共点【新知预习】阅读教材P92解决以下问题：判断对错：(1)与圆有公共点的直线是圆的切线.()(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.()×√(3)垂直于圆的半径的直线是圆的切线.()(4)过圆的直径端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线.()×√总结：1.切线的判定定理(1)过半径外端且_________于半径的直线是圆的切线.垂直(2)数学语言：如图：若OA是☉O的半径，直线l经过点A，l_______OA，则直线l是☉O的切线.⊥2.三角形的内切圆(1)定义：和三角形的_______边都相切的圆.(2)三角形的内心：内切圆的_________，即三角形的三条角平分线的交点.(3)三角形的内心的性质：到三角形_________的距离相等.三圆心三边【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！1.已知☉O的半径为5，直线EF经过☉O上一点P(点E，F在点P的两旁)，下列条件能判定直线EF与☉O相切的是()DA.OP=5B.OE=OFC.O到直线EF的距离是4D.OP⊥EF2.如图，A是☉O上一点，且PA=12，PB=8，OB=5，则PA与☉O的位置关系是_________.相切3.如图，已知点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BOC=124°，则∠A=_________.68°知识点一切线的判定(P92“定理”拓展)【典例1】如图所示，AB是☉O的直径，点C为☉O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC.BC平分∠ABD.求证：CD为☉O的切线.【尝试解答】∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC，…………角平分线的定义∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，…………………………………………等边对等角∴∠OCB=∠DBC，……………………等量代换∴OC∥BD，∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为☉O的切线.…………………………………………切线的判定【学霸提醒】切线的判定的两种思路1.连半径，证垂直：若已知直线与圆有公共点，则连接圆心与公共点，证明垂直.2.作垂直，证等径：若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径.【题组训练】1.如图，AB是☉O的直径，点P是☉O外一点，PO交☉O于点C，连接BC，PA.若∠P=40°，当∠B等于_______时，PA与☉O相切.()A.20°B.25°C.30°D.40°B★2.(易错警示题)如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为(-3，0)，将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为()A.1B.3C.5D.1或5D★3.(易错警示题)如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长的一半为半径作☉O，要使射线BA与☉O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转世纪金榜导学号()A.40°或80°B.50°或110°C.50°或100°D.60°或120°B★★4.如图所示，直线y=x-2与x轴、y轴分别交于M，N两点，☉O的半径为1，将☉O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动_____________秒时，直线MN恰好与圆O相切.世纪金榜导学号2222或★★5.(2019·枣庄中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作☉O，点D为☉O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由.(2)若BE=2，DE=4，求圆的半径及AC的长.解：(1)连接OC.∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD(SSS)，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是☉O的切线.(2)设☉O的半径为r.在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴(4-r)2=22+r2，∴r=1.5，∵tan∠E=，∴CD=BC=3，OBCD1.5CDEBDE24＝，＝在Rt△ABC中，AC=∴圆的半径为1.5，AC的长为3.2222ABBC3332＝＝．2知识点二三角形的内切圆(P93“习题T2”补充)【典例2】(2019·宜兴期中)已知：△ABC内接于☉O，I是△ABC的内心，AD交BC于点E.求证：DB=DI.【尝试解答】∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，……………………内心为三角形内角平分线的交点∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD，………………………………………………等量代换∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD，………………等量代换∴ID=BD.…………………………等角对等边【学霸提醒】三角形内切圆的性质1.三角形内切圆的圆心是三角形内角角平分线的交点.2.三角形内切圆的圆心到三边的距离相等.【题组训练】1.(2019·昆明官渡区期末)如图，☉O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=()A.70°B.110°C.120°D.130°B2.如图，四边形ABCD内接于☉O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为世纪金榜导学号()A.56°B.62°C.68°D.78°C★3.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，周长为12，那么△ABC内切圆半径为()A.3B.2.5C.2D.1D★★4.(2019·武汉硚口区模拟)如图，☉O的直径AB为10cm，点E是圆内接△ABC的内心，CE的延长线交☉O于点D.世纪金榜导学号(1)求AD的长.(2)求DE的长.解：(1)连接BD，如图，∵AB为☉O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵点E是圆内接△ABC的内心，∴CE平分∠ACB，∴∠1=45°，∴∠DBA=∠1=45°，∴△ADB为等腰直角三角形，∴AD=AB=×10=5(cm).22222(2)连接AE，如图，∵点E是圆内接△ABC的内心，∴∠2=∠4，∵∠1=∠5，∴∠3=∠1+∠2=∠5+∠4，即∠3=∠DAE，∴DE=DA=5(cm).2【火眼金睛】已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，☉D与OA相切于点E，求证：OB与☉D相切.正解：连接DE，作DF⊥OB，∵☉D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DE=DF，即d=r，∴OB与☉D相切.【一题多变】△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，如图，若∠B=60°，∠C=70°，求∠EDF的度数.解：∠A=180°-(∠B+∠C)=50°，∵内切圆I和边CA，AB分别相切于点E，F，∴∠AFI=∠AEI=90°，∴∠FIE=360°-90°-90°-50°=130°，由圆周角定理得，∠EDF=∠FIE=65°.12【母题变式】【变式一】(变换条件)如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：∠BAD=∠CBD.解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD.【变式二】(变换条件和问法)△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，如图，若BC=3，CA=4，AB=5，求△ABC内切圆的半径.解：连接ID，IE，BC2+AC2=32+42=25，AB2=25，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∴四边形DCEI为正方形，∴ID=CD=CE=IE，∴CD+CE=BC+AC-AB=2，∴△ABC内切圆的半径为1.