2020版九年级数学下册 第三章 圆 3.3 垂径定理课件 （新版）北师大版

*3垂径定理【知识再现】1.圆是轴对称图形，对称轴是_______________________.2.轴对称的性质：轴对称图形中对应点的连线_____________________.过圆心的任意一条直线被对称轴垂直平分【新知预习】问题一：(动手操作)在白纸上画一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折几次，你发现了什么？结论：圆是___________图形，它的对称轴有_________条，任何一条_________所在的直线都是它的对称轴.轴对称无数直径问题二：(再动手操作)利用自己手中的圆，任意画出☉O的一条弦AB，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M，请沿着CD折叠☉O，仔细观察，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？相等的线段(半径相等除外)：__________；相等的弧(半圆除外)：=_____，=_____.结论(垂径定理)：(1)文字描述：垂直于弦的直径_________弦，并且_________弦所对的弧.»AD»BD»AC»BCAM=BM平分平分(2)几何语言：∵CD是☉O的直径，CD⊥AB，∴AM=_______，=_____，=_____.问题四：(1)若任意画出☉O的一条弦AB，取AB的中点M，作过M的直径CD，沿着CD折叠☉O，CD与AB的位置关系是：_________；问题三中相等的弧还成立吗？_________.BM»AD»BD»AC»BC垂直成立(2)当AB是☉O的直径时，你发现的结论一定成立吗？___________.结论(垂径定理的推论)：平分弦(不是直径)的直径_________于弦，并且_________弦所对的弧.不一定垂直平分【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧！1.下列说法正确的是()A.平分弦的直径垂直于弦B.垂直于弦的直线必过圆心C.垂直于弦的直径平分弦D.平分弦的直径平分弦所对的弧C2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是()A.AC=BCB.C.D.OC=CND»»ANBN¼¼AMBM3.如图，AB为☉O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=6，OD=4，则DC的长为()A.1B.2C.2.5D.5A4.☉O的半径是4，AB是☉O的弦，∠AOB=120°，则AB的长是_____.43知识点一垂径定理的应用(P74“定理”拓展)【典例1】(2019·杨浦区三模)如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=4，点E在上，射线AE与CD的延长线交于点F.5»AD(1)求圆O的半径.(2)如果AE=6，求EF的长.【规范解答】(1)连接OD，∵直径AB⊥弦CD，CD=4，∴DH=CH=CD=2，…………………垂径定理在Rt△ODH中，AH=5，设圆O的半径为r，OD2=(AH-OA)2+DH2，即r2=(5-r)2+20，5512解得：r=4.5，…………………………勾股定理则圆的半径为4.5.(2)过O作OG⊥AE于G，∴AG=AE=×6=3，∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，∴△AGO∽△AHF，………两角相等的两三角形相似∴………………………………相似的性质∴AF=，∴EF=AF-AE=-6=.…………计算1212AGAHAOAF，15215232【学霸提醒】垂径定理常作的两条辅助线及解题思想1.两条辅助线：一是过圆心作弦的垂线；二是连接圆心和弦的一端(即半径)，这样把半径、圆心到弦的距离、弦的一半构建在一个直角三角形中，运用勾股定理求解.2.方程的思想：在直接运用垂径定理求线段的长度时，常常将未知的一条线段设为x，利用勾股定理构造关于x的方程解决问题，这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路.【题组训练】1.如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=()世纪金榜导学号A.8cmB.5cmC.3cmD.2cmA★2.如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为()世纪金榜导学号A.B.2C.2D.8C15515★3.如图，已知☉O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为()A.6B.8C.5D.5B23★4.(2019·德州中考)如图，CD为☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，，CE=1，AB=6，则弦AF的长度为_______.世纪金榜导学号»»ABBF485★★5.如图，在△OAB中，OA=OB，☉O交AB于点C，D，求证：AC=BD.证明：过点O作OE⊥AB于点E，∵在☉O中，OE⊥CD，∴CE=DE，∵OA=OB，OE⊥AB，∴AE=BE，∴AE-CE=BE-DE，∴AC=BD.知识点二垂径定理在实际问题中的应用(P75“例”补充)【典例2】(2019·朝阳区期末)一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量.如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB.【尝试解答】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，…………………………垂径定理∵钢球的直径是10mm，∴钢球的半径是5mm，∵钢球顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm，在Rt△AOD中，∵AD=__________==4(mm)………………………………勾股定理∴AB=2AD=2×4=8(mm).22OAOD2253【学霸提醒】垂径定理基本图形的四变量、两关系1.四变量：如图，弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离(弓形高)h，这四个变量知任意两个可求其他两个.2.两关系：(1)+d2=r2.(2)h+d=r.2a()2【题组训练】1.(2019·婺城区期末)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB=10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是()A.3dmB.4dmC.5dmD.6dmB★2.(2019·长兴县期末)乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为()BA.4mB.5mC.6mD.8m★3.(2019·衢州中考)一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在☉O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为()BA.6dmB.5dmC.4dmD.3dm★★4.(2019·宁都县期末)如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=15cm，AB=60cm，则这个摆件的外圆半径是_________cm.世纪金榜导学号37.5★★5.如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC为8m，宽AB为1m，该隧道内设双向行驶的车道(共有2条车道)，若现有一辆货运卡车高4m，宽2.3m.则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由.世纪金榜导学号解：这辆货运卡车可以通过该隧道.理由如下：根据题意可知，如图，在AD上取G，使OG=2.3m，过G作EG⊥BC于F，反向延长交半圆于点E，则GF=AB=1m，圆的半径OE=AD=×8=4(m)，在Rt△OEG中，由勾股定理，得EG=所以点E到BC的距离为EF=+13+1=4，故货运卡车可以通过该隧道.12122222OEOG42.310.713，10.71【火眼金睛】有一个半径为5m的排水管，水面宽度为8m，求此时水的深度.正解：情形1：当AB在圆心O下方时，连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，∵半径为5m，AB=8m，∴OA=OE=5m，AM=4m，∴OM=3m，∴ME=OE-OM=5-3=2(m).情形2：当AB在圆心O上方时，同法可得EM′=5+3=8(m).综上所述，水的深度为2m或8m.【一题多变】如图，已知AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，BE=CD=16，试求☉O的半径.解：连接OD，设OB=OD=R，则OE=16-R，∵直径AB⊥CD，CD=16，∴∠OED=90°，DE=CD=8，由勾股定理得：OD2=OE2+DE2则R2=(16-R)2+82解得：R=10，∴☉O的半径为10.12【母题变式】【变式一】(变换条件)如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，求☉O的半径.解：连接CO，如图：设AP=x，则PB=5x，AO=(x+5x)=×6x=3x，PO=3x-x=2x，1212∵AB⊥CD，∴CP=×10=5，在△CPO中，52+(2x)2=(3x)2，解得x1=，x2=-(舍去).∴AO=3cm.12555【变式二】(变换问法)如图，☉O的直径CD垂直弦AB于点E，且CD=10cm，AB=8cm，求OE的长.略