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2.5.2圆的切线【知识再现】1.如果一条直线与圆相切,那么它们有______个公共点;2.已知☉O的半径为r,圆心到直线l的距离为d,直线l与☉O相切⇔________.1d=r【新知预习】1.切线的判定定理:经过半径的外端并且____________________的直线是圆的切线.2.切线的性质定理:圆的切线___________过切点的半径.垂直于这条半径垂直于【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!如图,在☉O中,AB为直径,BC为弦,CD为切线,连接OC.若∠BCD=50°,则∠AOC的度数为()A.40°B.50°C.80°D.100°C知识点一切线的判定(P67例2拓展)【典例1】如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点.以AC为直径的☉O交AB于点E.(1)求证:DE是☉O的切线.(2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的长.【尝试解答】(1)如图所示,连接OE,CE.∵AC是☉O的直径,∴∠AEC=∠BEC=90°.…………直径所对的圆周角是90°∵D是BC的中点,∴ED=BC=DC.∴∠1=∠2.∵OE=OC,∴∠3=∠4.…………………………………………等边对等角∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD.∵∠ACD=90°,∴∠OED=90°,即OE⊥DE.12又∵E是☉O上一点,∴DE是☉O的切线.……………………切线的判定(2)由(1)知∠BEC=90°.在Rt△BEC与Rt△BCA中,∠B为公共角,∴△BEC∽△BCA.∴…………………………相似三角形对应边成比例BEBC.BCBA即BC2=BE·BA.∵AE∶EB=1∶2,设AE=x,则BE=2x,BA=3x.又∵BC=6,∴62=2x·3x.∴x=,即AE=.66【学霸提醒】证明切线的常用方法1.若图形中已给出直线与圆的公共点,但未给出过点的半径,则可先作出过此点的半径,再证其与直线垂直;2.若图形中未给出直线与圆的公共点,则需先过圆心作该直线的垂线,再证垂足到圆心的距离等于半径.【题组训练】1.如图,AB是☉O的直径,点P是☉O外一点,PO交☉O于点C,连接BC,PA,若∠P=40°,当∠B等于多少时,PA与☉O相切()A.20°B.25°C.30°D.40°B★★2.(2019·廊坊模拟)如图,AB是☉O的弦,OP⊥OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)若☉O的半径为,OP=1,求BC的长.5解:(1)连接OB.∵OP⊥OA,∴∠A+∠OPA=90°,∵CP=CB,∴∠CPB=∠CBP,又∵∠APO=∠CPB,∴∠APO=∠CBP.∵OA=OB,∴∠OAP=∠OBP,∴∠OBA+∠PBC=90°,即∠OBC=90°,∴OB⊥BC,∴BC是☉O的切线;(2)略知识点二切线的性质(P68例3拓展)【典例2】(2019·宿州一模)已知AB是☉O的直径,弦CD与AB相交,∠BCD=25°.(1)如图1,求∠ABD的大小.(2)如图2,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的度数.【自主解答】(1)∵AB是直径,∴∠ACB=90°,且∠BCD=25°,∴∠ACD=65°,∵∠ACD=∠ABD,∴∠ABD=65°.(2)连接OD,∵DP是☉O的切线,∴∠ODP=90°,∵∠DOB=2∠DCB,∴∠DOB=2×25°=50°,∴∠P=40°,∵AC∥DP,∴∠P=∠OAC=40°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=40°,∴∠OCD=∠ACD-∠OCA=65°-40°=25°.【学霸提醒】切线的三条性质及辅助线的作法1.三条性质:(1)切线和圆只有一个公共点.(2)圆心到切线的距离等于圆的半径.(3)圆的切线垂直于过切点的半径.2.辅助线的作法:连切点、圆心,得垂直关系.【题组训练】1.(2019·张家港期中)如图,点P在☉O外,PA是☉O的切线,点C在☉O上,PC经过圆心O,与圆交于点B,若∠P=46°,则∠ACP=()A.46°B.22°C.27°D.54°B★2.如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数.世纪金榜导学号(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.略知识点三切线的判定与性质的综合应用【典例3】如图,已知BC是☉O的直径,AC切☉O于点C,AB交☉O于点D,E为AC的中点,连接DE.(1)若AD=DB,OC=5,求切线AC的长.(2)求证:ED是☉O的切线.【尝试解答】(1)连接CD,如图1.∵BC是☉O的直径,∴∠BDC=90°,即CD⊥AB,…………直径所对的圆周角为直角,∵AD=DB,OC=5,∴CD是AB的垂直平分线,∴AC=BC=2OC=10;……线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.(2)连接OD,如图2所示,∵∠ADC=90°,E为AC的中点,∴DE=EC=AC,……………直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,12∴∠1=∠2,………………………等边对等角∵OD=OC,∴∠3=∠4,……………等边对等角∵AC切☉O于点C,∴AC⊥OC,…………切线的性质∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,…………等量代换即DE⊥OD,∴ED是☉O的切线.……………………切线的判定【学霸提醒】切线判定与性质综合应用证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题.即已知切线,根据切线的性质有:见切点,连半径,证垂直;关于证明圆的切线的判定,常常是作垂直证半径或是连半径证垂直.提醒:若问题中同时出现切线的性质与判定时,要明确区分,若题目中没有给出公共点时,不能人为地设出公共点再连接.【题组训练】1.已知AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是☉O的切线.略★2.如图,DE是☉O的直径,过点D作☉O的切线AD,C是AD的中点,AE交☉O于点B,且四边形BCOE是平行四边形.(1)BC是☉O的切线吗?若是,给出证明;若不是,请说明理由.(2)若☉O半径为1,求AD的长.略★★3.(2019·雅安中考)如图,已知AB是☉O的直径,AC,BC是☉O的弦,OE∥AC交BC于E,过点B作☉O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F.世纪金榜导学号(1)求证:DC是☉O的切线.(2)若∠ABC=30°,AB=8,求线段CF的长.略【火眼金睛】如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,☉P与OA相切于D,求证:OB与☉P相切.正解:连接PD,过点P作PF⊥OB于点F.∵OA与☉P相切于点D,∴PD⊥OA,又∵OC平分∠AOB,PF⊥OB,∴PF=PD,∴OB与☉P相切.【一题多变】如图,AB为圆O的直径,C为圆O上一点,D为BC延长线上一点,且BC=CD,CE⊥AD于点E.(1)求证:直线EC为圆O的切线.(2)设BE与圆O交于点F,AF的延长线与CE交于点P,已知∠PCF=∠CBF,PC=5,PF=4,求sin∠PEF的值.略【母题变式】(变换条件)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作☉O,使☉O经过点A和点D.(1)求证:直线BC是☉O的切线.世纪金榜导学号(2)若AC=3,∠B=30°,求☉O的半径.解:(1)连接OD,则OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∵∠C=90°,∴∠ODB=90°,∴直线BC是☉O的切线;(2)∵∠B=30°,∴∠BAC=60°,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD=30°,∴AD=过点O作OM⊥AD垂足为M,则AM=AC23cos30，1AD32，OA=∴☉O的半径为2.AM2cos30，