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第2章圆2.1圆的对称性【知识再现】1.轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全_________,这样的图形叫作轴对称图形.重合2.中心对称图形:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转________度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫作中心对称图形.180【新知预习】阅读教材P43-45,学习圆的有关概念并填空:1.圆的定义(1)圆的动态定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O_____________,另一个端点A所形成的图形.旋转一周①固定的端点O叫作_________,线段OA的长度叫作_________.②圆的记法和读法:以点O为圆心的圆记作“________”,读作“________”.(2)圆的静态定义:圆可以看成是到_________的距离等于_________的点的集合.圆心半径☉O圆O定点定长2.圆的相关概念3.点与圆的位置关系若点P与圆心的距离为d,圆的半径为r,则点与圆的三种位置关系如表:点与圆的位置关系数量关系数学语言描述点在圆内d______rd______r⇔点在圆内点在圆上d______rd______r⇔点在圆上点在圆外d______rd______r⇔点在圆外==4.圆的对称性(1)圆是中心对称图形,_________是它的对称中心.(2)圆是轴对称图形,任意一条_________所在的直线都是圆的对称轴.圆心直径【基础小练】请自我检测一下预习的效果吧!1.以已知点O为圆心,已知线段长a为半径作圆,可以作()A.1个B.2个C.3个D.无数个A2.下列命题中正确的有()①弦是圆上任意两点之间的部分;②半径是弦;③直径是最长的弦;④弧是半圆,半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个A3.已知☉O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,则点A与☉O的位置关系是()A.点A在☉O上B.点A在☉O内C.点A在☉O外D.点A与圆心O重合C知识点一圆的有关概念及应用(P44探究拓展)【典例1】如图,☉O的半径OA,OB分别交弦CD于点E,F,且CE=DF.求证:△OEF是等腰三角形.【自主解答】连接OC,OD,∵OC=OD,∴∠C=∠D,又∵CE=DF.∴△OCE≌△ODF,∴OE=OF,∴△OEF是等腰三角形.【学霸提醒】圆中易混概念1.弦与直径的区别:直径是最长的弦,但弦不一定是直径,半径不是弦.2.弧与半圆的区别:半圆是弧,是整圆的一半,但不是最长的弧,同时弧不一定是半圆.【题组训练】1.(2019·通州区模拟)☉O中,直径AB=a,弦CD=b,则a与b大小为()A.abB.a≥bC.abD.a≤bB★2.如图,在☉O中,弦的条数是()A.2B.3C.4D.以上均不正确C★3.如图,☉O的半径为1,分别以☉O的直径AB上的两个四等分点O1,O2为圆心,为半径作圆,则图中阴影部分的面积为()A.πB.πC.πD.2π12B1214★4.如图,AB是半圆O的直径,D是半圆上的一点,∠DOB=75°,DC交BA的延长线于E,交半圆于C,且CE=AO,求∠E的度数.世纪金榜导学号解:连接OC,如图,∵CE=AO,而OA=OC,∴OC=EC,∴∠E=∠1,∴∠2=∠E+∠1=2∠E,∵OC=OD,∴∠D=∠2=2∠E,∵∠BOD=∠E+∠D,∴∠E+2∠E=75°,∴∠E=25°.★★5.如图,在☉O中,AB为弦,C,D在AB上,且AC=BD,请问图中有几个等腰三角形?把它们分别写出来,并说明理由.解:等腰三角形有两个:△OAB,△OCD.理由:∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.∴∠A=∠B.又∵AC=BD,OA=OB,∴△OAC≌△OBD.∴OC=OD.∴△OCD是等腰三角形.知识点二点与圆的位置关系(P46T3拓展)【典例2】如图,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,点B关于原点O对称,则AB的最小值为()CA.3B.4C.6D.8【思路点拨】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,连接OM,交☉M于点P′,当点P位于P′位置时,OP′取得最小值,据此求解可得.【学霸提醒】判断点与圆的位置关系的步骤1.求点到圆心的距离d.2.比较d与r的大小.【题组训练】1.到圆心的距离不大于半径的点的集合是()A.圆的外部B.圆的内部C.圆D.圆的内部和圆D★2.若点B(a,0)在以点A(-1,0)为圆心,2为半径的圆外,则a的取值范围为()世纪金榜导学号A.-3a1B.a-3C.a1D.a-3或a1D★3.已知矩形ABCD的边AB=6,AD=8.如果以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点,那么☉A的半径r的取值范围是()A.6r10B.8r10C.6r≤8D.8r≤10A★★4.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以B为圆心,以BC为半径作☉B,问点A,C及AB,AC的中点D,E与☉B有怎样的位置关系?世纪金榜导学号略【火眼金睛】若☉O的半径为4,点P到☉O上一点的最短距离为2,求点P到☉O上一点的最长距离.正解:如图所示:当点P在☉O内时,点P到☉O上一点的最长距离为4×2-2=6;当点P在☉O外时,点P到☉O上一点的最长距离为4×2+2=10.【一题多变】如图,点M,N在半圆的直径AB上,点P,Q在上,四边形MNPQ为正方形.若半圆的半径为,则正方形的边长为______.AB52【母题变式】【变式一】(变换问法)如图,已知半圆O的半径为.正方形DEFG和正方形ECNM彼此相邻且内接于半圆O,则这两个正方形的边长分别是________,其面积之和为______.52,15【变式二】如图1,半圆O的半径r=5cm,点N是半径AO上的一个动点,N从点A出发,沿AO方向以1cm/s的速度向点O运动,过点N作MN⊥AB,交半圆O于点M,设运动时间为ts.世纪金榜导学号(1)当t等于多少时,MN=3cm.(2)如图2,以MN为边在半圆O内部作正方形MNPQ,使得点P落在AB上,点Q落在半圆内(或半圆上),设正方形MNPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.解:(1)如图,连接OM,由题意知AN=t,则ON=5-t,∴MN=当MN=3时,得=3,22222OMON55tt10t，2t10t解得:t=1或t=9,又∵t≤5,∴t=1.答:当t等于1时,MN=3cm.(2)由(1)知,MN=,∴S=MN2=-t2+10t,如图,连接OM,OQ,则OM=OQ,在Rt△OMN和Rt△OQP中,2t10t∵∴Rt△OMN≌Rt△OQP,∴ON=OP=NP=MN,即2ON=MN,MNQPOMOQ，，1212∴2(5-t)=,解得:t=5+5(舍)或t=5-,又∵t0,∴0t≤5-,故S=-t2+10t(0t≤5-).2t10t5555