不动点的性质与应用(教师版)

1不动点的性质与应用一、不动点：对于函数()()fxxD，我们把方程()fxx的解x称为函数()fx的不动点，即()yfx与yx图像交点的横坐标.例1：求函数12)(xxf的不动点.解：有一个不动点为1例2：求函数12)(2xxg的不动点.解：有两个不动点121、二、稳定点：对于函数()()fxxD，我们把方程[()]ffxx的解x称为函数()fx的稳定点，即[()]yffx与yx图像交点的横坐标.很显然，若0x为函数)(xfy的不动点，则0x必为函数)(xfy的稳定点.证明：因为00)(xxf，所以000)())((xxfxff，故0x也是函数)(xfy的稳定点.例3：求函数12)(xxf的稳定点.解：设12)(xxf，令xx1)12(2，解得1x故函数12xy有一个稳定点1【提问】有没有不是不动点的稳定点呢？答：当然有例4：求函数12)(2xxg的稳定点.解：令[()]ggxx，则018801)144(21)12(2242422xxxxxxxx，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,2121xx18824xxx必有因式12)12)(1(2xxxx可得0)124)(12)(1(2xxxx另外两解4514,3x，故函数12)(2xxg的稳定点是1、21、451451、，其中451是稳定点，但不是不动点下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.2由此可见，不动点是函数图像与直线xy的交点的横坐标，稳定点是函数))((Dxxfy图像与曲线))((Dyyfx图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.由图1和图3，我们猜测命题：若函数))((Dxxfy单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.证明：（1）1若函数))((Dxxfy有不动点0x，即00)(xxf000)())((xxfxff，故0x也是函数)(xfy的稳定点；2若函数))((Dxxfy有稳定点0x，即00))((xxff，假设0x不是函数的不动点，即00)(xxf①若f（x0）x0，则f（f（x0））f（x0），即x0f（x0）与f（x0）x0矛盾，故不存在这种情况；②若f（x0）x0，则f（f（x0））f（x0），即x0f（x0）与f（x0）x0矛盾，故不存在这种情况；综上，f（x0）=x0x0是f（x）的不动点．（2）1若函数))((Dxxfy无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；2若函数))((Dxxfy无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；综上，若函数))((Dxxfy单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.xyxy12)(xxf图-1xyxy12)(2xxg图-2xyxy12)(xxf2121xy图-3xyxy12)(2xxg21xy图-43例5、对于函数f(x)，我们把使得f(x)=x成立的x称为函数f(x)的不动点。把使得f(f(x))=x成立的x称为函数的f(x)的稳定点，函数f(x)的不动点和稳定点构成集合分别记为A和B.即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}，（1）请证明：A⊆B；（2）2()(,)fxxaaRxR，且A=B≠∅，求实数a的取值范围.解：（1）证明：①若A时，AB②若A时，对任意的xA，有()[()]()fxxffxfxxxBAB综上，得AB（2）A20xax有解11404aaB（x2-a）2-a=x有解x4-2ax2-x+a2-a=0A⊆B∴即x4-2ax2-x+a2-a=0的左边有因式x2-x-a；∴(x2-x-a)(x2+x-a+1)=0；又A=B∴x2+x-a+1=0无实数根，或实数根是方程x2-x-a=0的根；∴①若x2+x-a+1=0无实数根，则△=1-4（-a+1）034a②若x2+x-a+1=0有实根，且实根是方程x2-x-a=0的根；作差，得2x+1=01324xa综上，a的取值范围为13[,]44例6、已知函数(),yfxxD，若存在0xD，使得00()fxx，则称0x为函数()fx的不动点；若存在0xD，使得00[()]ffxx，则称0x为函数()fx的稳定点，则下列结论中正确的是_________(填上所有正确结论的序号).①112、是函数2()21fxx的两个不动点；②若0x为函数()yfx的不动点，则0x必为函数()yfx的稳定点；③若0x为函数()yfx的稳定点，则0x必为函数()yfx的不动点；④函数2()21fxx共有三个稳定点；⑤()xfxex的不动点与稳定点相同。考点：[命题的真假判断与应用]解：①解221xx得：121,12xx故112、是函数2()21fxx有两个不动点，即①正确；②若0x为函数y=f(x)的不动点，则00()fxx，此时000[()]()ffxfxx，4则0x必为函数y=f(x)的稳定点，故②正确；③若0x为函数y=f(x)的稳定点，则0x不一定为函数y=f(x)的不动点(见①④结论)，故③错误；④解22422(21)18810xxxxx，得x=12或x=1或154x或154x即函数2()21fxx共有四个稳定点，故④错误；⑤因()xfxex在定义域上为增函数，故它的不动点与稳定点相同。故答案为：①②⑤例7、设函数()()fxxaaR.若方程f(f(x))=x有解,则a的取值范围为()A.1(,]4B.1[0,]8C.1(,]8D.[1,+∞)解：法二：设f(x)=t,t⩾0,则方程f(f(x))=x等价为f(t)=x，即xattax，∴t=x，即f(x)=x，∴xax在x⩾0时有解，∴2axx设2(1)gxxxxx则max11()()24agxg，故选：A.例8：已知bxxxf3，若xf在[1,)上单调．（1）求b的取值范围；（2）已知bxxxf3，若设001,()1xfx，且满足00[()]ffxx，求证：00()fxx．解：（1）法一：令211xx，则0))((2221212123213121bxxxxxxbxxbxxxfxf2221212221210xxxxbbxxxx恒成立3111b（2）（证法一）设0()fxm，由00[()]ffxx得0()fmx，于是有30030(1)(2)xbxmmbmx（1）－（2）得：33000()()xmbxmmx，化简可得22000()(1)0xmxmxmb，001,()1xfxm，22001410xmxmbb，故00xm，即有00()fxx．（证法二）假设00()fxx，①若f（x0）x0，则f（f（x0））f（x0），即x0f（x0）与f（x0）x0矛盾，故不存在这种情况；②若f（x0）x0，则f（f（x0））f（x0），即x0f（x0）与f（x0）x0矛盾，故不存在这种情况；综上，f（x0）=x05例9：已知20fxaxbxca，且方程fxx无实根。现有四个命题①方程ffxx也一定没有实数根；②若0a，则不等式ffxx对一切xR成立；③若0a，则必存在实数0x使不等式00ffxx成立；④若0abc，则不等式ffxx对一切xR成立。其中真命题的个数是（C）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【提问】由以上例题我们还可以得到什么结论呢？【性质】1、函数()()fxxD不动点构成的集合是[()]()ffxxD不动点构成的集合的子集；2、若函数()fx在D上单调递增，则()()fxxD不动点构成的集合与[()]()ffxxD不动点构成的集合相等；3、若))((xff有唯一不动点，则)(xf也有唯一不动点；证明：4、若函数()()fxxD是自反函数，则在D内任何实数均是[()]()ffxxD的不动点；证明：5、若函数[()]()ffxxD不动点构成的集合是非无限集，则()()fxxD不动点构成的集合的元素个数与[()]()ffxxD不动点构成的集合的元素个数同为偶数或同为奇数.证明：6【课后练习】1、对于函数xf，若00xxf，则称0x为函数)(xfy的不动点；若00))((xxff，则称0x为函数)(xfy的稳定点.如果Raaxxf2的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么a的取值范围是（）A、41,B、,43C、41,43D、41,43解：0x为函数xf的不动点，则方程xxf，即02axx有实根0x，∴41041aa；如果稳定点恰是它的不动点，则0x是方程xxff的根，即xaax220122axxaxx，因为函数Raaxxf2的稳定点恰是它的不动点，所以①若方程012axx无实根430141aa；②若方程012axx有实根，且实根是方程02axx的根，作差，得2x+1=011132424xa综上：4143a，故选D2、方程xxf的根称为函数)(xf的不动点，若函数2xaxxf有唯一不动点，且10001x，nnxfx111，1n，2，3，……，则2017x——2008——.73、对于函数()yfx,若0x满足00()fxx,则称0x为函数()fx的一阶不动点,若0x满足00[()]ffxx,则称0x为函数()fx的二阶不动点，（1）设f(x)=2x+3,求f(x)的二阶不动点。（2）设,xfxexaaR,若f(x)在[0,1]上存在二阶不动点0x，求实数a的取值范围.考点：[函数与方程的综合运用,函数的值]解：（1）若f(x)=2x+3,则f[f(x)]=2(2x+3)+3=4x+9，由f[f(x)]=x,得4x+9=x,解得x=−3；（2）函数,xfxexaaR在R上单调递增，则由(2)可知,若f(x)在[0,1]上存在二阶不动点0x，则f(x)在[0,1]上也必存在一阶不动点0x；反之,若f(x)在[0,1]上存在一阶不动点0x,即00()fxx，那么000[()]()ffxfxx,故f(x)在[0,1]上也存在二阶不动点0x.所以函数f(x)在[0,1]上存在二阶不动点0x等价于f(x)=x在[0,1]上有解,即方程xexax在[0,1]上有解，∴xae在[0,1]上有解∴a的取值范围是[−e,−1].4、已知函数xxxf66)(2，设函数,)],([)()],([)(),()(23121xgfxgxgfxgxfxg)],([)(1xgfxgnn（1）求证:如果存在一个实数0x，满足001)(xxg，那么对一切00)(,xxgNnn都成立都成立；（2）若实数0x满足00)(xxgn，则称0x为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间),0(A，对于任意Ax，有0)0()]([)(,0)()(121fxgfxgaxfxg，且2n时，0)(xgn.试问是否存在区间)(