2020版高考理科数学突破三轮复习新课标通用-解答题规范练46分专项练(五)-17、18、19题+二

46分专项练(五)17、18、19题＋二选一1．已知递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1·a4＝16，S4＝20.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(－1)n－12n＋1Sn，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，M为AD上一点，AM＝2MD＝2，∠BMC＝60°.(1)若△MCD为等腰三角形，求BC；(2)设∠DCM＝θ，若MB＝4MC，求tanθ.3.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2.(1)证明：平面PAC⊥平面PCE；(2)若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角P­CE­D的余弦值．4.某大型公司为鼓励员工与客户沟通，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐．为了解该单位员工手机流量使用情况，通过抽样得到100位员工近2年每人手机月平均使用流量L(单位：MB)的数据，其频率分布直方图如下：若将每位员工的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题：(1)从该大型公司员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过300MB的概率；(2)现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位：元)月套餐流量(单位：MB)A20300B30500C38700这三款套餐都有如下附加条款：套餐费在月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200MB流量，资费20元/次，如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200MB流量，资费20元/次，以此类推．如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．该公司欲订购其中一款流量套餐，为员工支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由员工个人承担．问公司订购哪一款套餐最经济？说明理由．5．(二选一)(Ⅰ)[选修4­4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝－12t，y＝a＋32t(t为参数，a∈R)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，射线θ＝π3(ρ≥0)与曲线C交于O，P两点，直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)当|AB|＝|OP|时，求a的值．(Ⅱ)[选修4­5：不等式选讲]已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|4的解集为M.(1)求集合M；(2)设实数a∈M，b∉M，证明：|ab|＋1≤|a|＋|b|.参考答案与解析46分专项练(五)17、18、19题＋二选一1．解：(1)由a1a4＝16，S4＝2(a1＋a4)＝20，且a1a4知a1＝2，a4＝8，所以公差d＝a4－a13＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)由(1)知an＝2n，所以Sn＝(2n＋2)n2＝n(n＋1)．所以bn＝(－1)n－12n＋1Sn＝(－1)n－12n＋1n(n＋1)＝(－1)n－11n＋1n＋1，所以Tn＝1＋12－12＋13＋…＋(－1)n－11n＋1n＋1＝1＋(－1)n－11n＋1.2．解：(1)由AB∥CD，∠A＝60°可得∠D＝120°.又△MCD为等腰三角形，所以∠DMC＝∠DCM＝30°，所以MC＝3MD＝3，∠AMB＝90°，所以MB＝23.在△MBC中，由余弦定理得BC2＝BM2＋MC2－2BM·MC·cos∠BMC＝12＋3－2×23×3×12＝9，即BC＝3.(2)因为∠DCM＝θ，所以∠DMC＝60°－θ，所以∠DMB＝120°－θ，所以∠ABM＝60°－θ，0°θ60°.在△MCD中，由正弦定理得MC＝32sinθ，在△MAB中，由正弦定理得MB＝3sin(60°－θ)，由MB＝4MC，得3sin(60°－θ)＝432sinθ，化简得3cosθ－2sinθ＝0，解得tanθ＝32.3．解：(1)证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF.因为O，F分别为AC，PC的中点，所以OF∥PA，且OF＝12PA.因为DE∥PA，且DE＝12PA，所以OF∥DE，且OF＝DE.所以四边形OFED为平行四边形，所以OD∥EF，即BD∥EF.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.又因为BD∥EF，所以EF⊥平面PAC.又因为FE⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.(2)因为直线PC与平面ABCD所成角为45°，所以∠PCA＝45°，所以AC＝PA＝2.所以AC＝AB，故△ABC为等边三角形．设BC的中点为M，连接AM，则AM⊥BC，所以AM⊥AD.以A为原点，AM，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A­xyz，如图．则P(0，0，2)，C(3，1，0)，E(0，2，1)，D(0，2，0)，所以PC→＝(3，1，－2)，CE→＝(－3，1，1)，DE→＝(0，0，1)．设平面PCE的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则n·PC→＝0，n·CE→＝0，即3x1＋y1－2z1＝0，－3x1＋y1＋z1＝0，令y1＝1，则x1＝3，z1＝2，所以n＝(3，1，2)．设平面CDE的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则m·DE→＝0，m·CE→＝0，即z2＝0，－3x2＋y2＋z2＝0，令x2＝1，则y2＝3，z2＝0，所以m＝(1，3，0)，设二面角P­CE­D的大小为θ，由于θ为钝角，所以cosθ＝－|cos〈n，m〉|＝－|n·m||n||m|＝－2322×2＝－64.所以二面角P­CE­D的余弦值为－64.4．解：(1)依题意，从该大型公司员工中随机抽取1名员工，其手机月流量不超过300MB的概率P＝(0.0008＋0.0022)×100＝0.3.设从该大型公司员工中随机抽取3名员工中手机月流量不超过300MB的人数为X，则X～B(3，0.3)，则从该大型公司员工中随机抽取3人，这3人中至多有1人手机月流量不超过300MB的概率为P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C03×(1－0.3)3＋C13×0.31×(1－0.3)2＝0.784.(2)依题意，从公司中随机抽取一名员工的手机使用流量在(300，500]和(500，700]的概率分别为0.6，0.1.①当订购A套餐时，设公司为一位员工承担的月套餐费用为Y，则Y的可能取值为20，35，50，且P(Y＝20)＝0.3，P(Y＝35)＝0.6，P(Y＝50)＝0.1，所以Y的分布列为Y203550P0.30.60.1所以E(Y)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．②当订购B套餐时，设公司为一位员工承担的月套餐费用为Z，则Z的可能取值为30，45，且P(Z＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(Z＝45)＝0.1，所以Z的分布列为Z3045P0.90.1所以E(Z)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．③当订购C套餐时，公司为一位员工承担的月套餐费用为38元．因为31.53238，所以订购B套餐最经济．5．(Ⅰ)解：(1)将直线l的参数方程化为普通方程为3x＋y－a＝0.由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即曲线C的直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0.(2)法一：由ρ＝4cosθ，θ＝π3得P2，π3，所以|OP|＝2.将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程x2－4x＋y2＝0，得t2＋(2＋3a)t＋a2＝0，由Δ0，得23－4a23＋4.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以t1＋t2＝－2－3a，t1t2＝a2，则|AB|＝|t1－t2|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝4＋43a－a2＝2，解得a＝0或a＝43.所以a的值为0或43.法二：将射线θ＝π3(ρ≥0)化为普通方程为3x－y＝0(x≥0)．由(1)知，曲线C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2.由点到直线的距离公式，得点C到该射线的距离d＝233＋1＝3，所以该射线与曲线C相交所得的弦长为|OP|＝222－(3)2＝2.圆心C到直线l的距离为|23－a|3＋1＝|23－a|22，由|23－a|22＋12＝22，得(23－a)2＝12，即23－a＝±23，解得a＝0或a＝43，所以a的值为0或43.(Ⅱ)解：(1)法一：当x－12时，不等式化为－2x－1＋1－2x4，即x－1，所以－1x－12；当－12≤x≤12时，不等式化为2x＋1－2x＋14，即24，所以－12≤x≤12；当x12时，不等式化为2x＋1＋2x－14，即x1，所以12x1.综上可知，集合M＝{x|－1x1}．法二：设f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，则f(x)＝－4x，x－12，2，－12≤x≤12，4x，x12.函数f(x)的图象如图所示，因为f(x)4，由图可得－1x1，所以集合M＝{x|－1x1}．(2)证明：因为a∈M，b∉M，所以|a|1，|b|≥1.所以|ab|＋1－(|a|＋|b|)＝|ab|＋1－|a|－|b|＝(|a|－1)·(|b|－1)≤0，所以|ab|＋1≤|a|＋|b|.