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4单摆[学习目标]1.了解什么是单摆及在什么情况下单摆的振动是简谐运动.2.知道单摆的周期跟哪些因素有关,了解单摆周期公式,并能进行有关计算.3.知道用单摆可测定重力加速度.课前预习感悟新知教材探究知识点一单摆及单摆的回复力[问题导学]如图所示,一根细线上端固定,下端连接一个金属小球,用手使小球偏离竖直方向一个夹角,然后释放(忽略空气阻力).(1)小球受到哪些力的作用?(2)什么力提供向心力?(3)小球经过O点时,合外力为零吗?答案:(1)重力、细线拉力.(2)细线拉力与重力沿细线方向分力的合力.(3)不为零,需要向心力.[知识梳理]1.单摆模型(1)定义:细线一端固定在悬点,另一端系一个小球,如果细线的与小球相比可以忽略,球的与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫单摆.(2)理想化要求:摆动过程中忽略空气阻力,单摆是一种的模型.实验中为满足上述条件,尽量选择质量大、小的球和尽量的线.2.单摆的回复力(1)来源:摆球的重力沿方向的分力.(2)特点:在偏角很小时,摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成,方向总是指向,即F=.其运动为运动,振动图象为正弦曲线.质量直径理想化体积细圆弧切线正比平衡位置-kx简谐知识点二单摆的周期[问题导学]如图所示,摆长不同的两个单摆同时释放两个完全相同的小球,我们可以观察到振动的周期不同.影响周期的因素可能有单摆的振幅、质量、摆长,如何研究周期与这些量的关系?本实验应用到了什么实验方法?答案:由于变量比较多,所以需按下面的方案进行探究:(1)摆长、质量相同,两摆的振幅不同(都在小偏角情况下).(2)摆长、振幅相同,两摆摆球的质量不同.(3)质量、振幅相同,两摆的摆长不同.比较以上三种情况下两摆的周期,可以得到周期与振幅、质量、摆长之间的定性关系.本实验采用的是控制变量法.[知识梳理]1.探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响(1)探究方法:法.(2)实验结论:①质量与周期:单摆振动的周期与摆球的质量.②振幅与周期:振幅较小时周期与振幅.③摆长与周期:摆长越长,周期;摆长越短,周期越短.2.周期公式:T=.控制变量无关无关越长2πlg3.周期公式的应用:由单摆周期公式可得g=224πlT,只要测出单摆的和就可算出当地的重力加速度.摆长l周期T思考判断1.摆线的质量不计、摆线的长度不伸缩、摆球的直径比摆线长度小得多是单摆理想化的三个条件.()2.单摆摆动过程中与竖直方向的偏角很小时,才能看做简谐运动.()3.单摆摆球的回复力是摆球受到的合外力.()4.单摆摆球在平衡位置处,加速度为零.()5.单摆摆球在最高点,加速度为零.()6.单摆摆球受到的回复力与离开平衡位置的位移成正比.()7.将单摆由山脚下移至山顶,周期变大.()√√×××√√要点一对单摆模型的认识课堂探究突破要点1.单摆的回复力❶(1)单摆受力:如图所示,受细线拉力和重力作用.(2)向心力来源:细线拉力和重力沿径向的分力的合力.(3)回复力来源:重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsinθ提供了使摆球振动的回复力.2.单摆做简谐运动的论证在偏角很小时,sinθ≈xl,又回复力F=mgsinθ,所以单摆的回复力为F=-mglx(式中x表示摆球偏离平衡位置❷的位移,l表示单摆的摆长,负号表示回复力F与位移x的方向相反),由此知回复力符合F=-kx,单摆做简谐运动.状元心得❶回复力不是摆球所受的合力(只有在最高点时回复力才等于合力).在平衡位置,摆球的回复力为零,但合力等于摆球的向心力,指向悬点,不为零.❷平衡位置具有向心加速度,最高点处具有切向加速度,摆球均不处于平衡状态.[例1](2018·北京海淀区校级期末)关于单摆,下列说法中正确的是()A.摆球的回复力方向总是指向平衡位置B.摆球的回复力是它的合力C.摆球经过平衡位置时,所受的合力为零D.摆角很小时,摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比A思路探究:(1)单摆的回复力由谁提供?答案:重力沿圆弧切线方向的分力.(2)单摆的回复力为零的位置在什么地方?在此位置摆球所受合力为零吗?答案:在单摆的最低位置,重力沿运动方向的分量为零,回复力为零,在此位置摆球所受合力不为零,所受合力提供摆球的向心力.解析:由回复力的定义可知选项A正确;单摆的回复力除指明在最高点外都不是摆球所受的合力,但不管在哪个位置均可以认为是重力沿轨迹圆弧切线方向的分力,故选项B错误;经过平衡位置时回复力为零,但合力不为零,因悬线方向上要提供向心力,选项C错误;综上所述选项D错误.方法总结弹簧振子和单摆在平衡位置的受力特点(1)弹簧振子在平衡位置的回复力为零,合力也为零.(2)摆球的轨迹为圆弧,在平衡位置回复力为零,合力不为零.[针对训练1]在如图所示的装置中,可视为单摆的是()A解析:这些装置都是实际摆,我们在研究单摆的摆动过程中,通常忽略空气等对单摆的阻力,因此实验中我们总是尽量选择质量大、体积小的球和尽量细、不可伸长的线组成单摆.单摆是实际摆的理想化模型,所以只有A项装置可视为单摆.[针对训练2]对于做简谐运动的单摆,下列说法中正确的是()A.在位移为正的区间,速度和加速度都一定为负B.当位移逐渐增大时,回复力逐渐增大,振动的能量也逐渐增大C.摆球经过平衡位置时,速度最大,势能最小,摆线所受拉力最大D.摆球在最大位移处时,速度为零,处于平衡状态C解析:回复力F=-kx,加速度a=-kxm,若位移为正,加速度为负,但经过同一点速度有两个可能的方向,不一定为负,故A错误;回复力F=-kx,当位移逐渐增大时,回复力逐渐增大,机械能守恒,故B错误;摆球经过平衡位置时,动能最大,故速度最大,重力势能最小,摆线所受拉力最大,故C正确;摆球在最大位移处时,速度为零,受重力和拉力,两个力不共线,故不是平衡力,故D错误.要点二对单摆周期公式的理解及简单应用1.摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点,所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度,即l=L+2d,L为摆线长,d为摆球直径.(2)等效摆长图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的,所以甲摆的摆长为l·sinα,这就是等效摆长,其周期T=2πsinlg.图(b)中,乙在垂直纸面方向摆动时,与甲摆等效;乙在纸面内小角度摆动时,与丙等效.2.重力加速度g若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态,g由单摆所处的空间位置决定,即g=2GMR,式中R为物体到地心的距离,M为地球的质量,g随所在位置的高度的变化而变化.另外,在不同星球上M和R也是变化的,所以g也不同,g=9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值.[例2]如图(甲)是一个单摆振动的情形,O是它的平衡位置,B,C是摆球所能到达的最远位置.设摆球向右方向运动为正方向.图(乙)是这个单摆的振动图象.根据图象回答:(1)单摆振动的频率是多大?在0时刻摆球在哪个位置?解析:(1)由图(乙)所示图象可知,单摆周期T=0.8s,单摆的频率f=1T=10.8s=1.25Hz.在t=0时,摆球处于负的最大位移,摆球向右方向运动为正方向,因此开始时,摆球在B处.答案:(1)1.25HzB位置(2)若当地的重力加速度为10m/s2,试求这个摆的摆长是多少?解析:(2)由单摆周期公式T=2πlg可得l=224πgT=22100.843.14m≈0.16m.答案:(2)0.16m[针对训练3]一个理想的单摆,已知其周期为T,现将该单摆转移到其他星球,该星球上自由落体加速度变为原来的12,振幅变为原来的13,摆长变为原来的14,摆球质量变为原来的15,则它的周期变为原来的()A.2倍B.2倍C.22D.周期不变C解析:根据T=2πlg知,摆长变为原来的14,重力加速度变为原来的12,则周期变为原来的22.C[针对训练4]如图所示,用弹性小球做成的四个单摆,当摆线竖直时,小球依次互相接触,且在同一水平线上,小球质量均为m,摆长由A到D逐渐增大,D的摆长是A摆长的2倍,A摆的振动周期为T,现将A摆球拉离平衡位置一小角度,松手后,A摆球沿其他摆球的连线所在竖直面内摆动(碰撞时,两球交换速度),则它们做简谐运动的周期为()A.仍为TB.大约为1.5TC.大约为1.2TD.大约为2T解析:D的摆长是A摆长的2倍,由单摆的周期公式T=2πlg可知,D的周期是A的周期的2倍,即为2T.由题,四个单摆都由弹性小球做成,碰撞时,两球交换速度,它们做简谐运动的周期为T′=2T+2DT=2T+22T≈1.2T.随堂演练检测效果1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是()A.摆线质量不计B.摆线长度不可伸缩C.摆球的直径比摆线长度短得多D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动ABC解析:单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量,摆球只计质量不计大小,且摆线不可伸缩.但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的,只有在摆角很小(θ5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动,故A,B,C正确.2.(多选)下列说法正确的是()A.单摆的等时性是惠更斯首先发现的B.单摆的等时性是伽利略首先发现的C.惠更斯首先将单摆的等时性用于计时D.伽利略首先发现了单摆的等时性,并把它用于计时BC解析:伽利略发现了单摆的等时性,荷兰物理学家惠更斯首先确定了单摆的周期公式,B,C正确.3.如图O点为单摆的固定悬点,现将摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球,摆球将在竖直平面内的A,C之间来回摆动,B点为运动中的最低位置,则在摆动过程中()A.摆球在A点和C点处,速度为零,合力也为零B.摆球在A点和C点处,速度为零,回复力也为零C.摆球在B点处,速度最大,回复力也最大D.摆球在B点处,速度最大,细线拉力也最大D解析:摆球在摆动过程中,在最高点A,C处速度为零,回复力最大,合力不为零,故A,B错误;在最低点B,速度最大,回复力为零,摆球做圆周运动,细线的拉力最大,故C错误,D正确.4.若单摆的摆长不变,摆球的质量由20g增加为40g,摆球离开平衡位置的最大角度由4°减为2°,则单摆振动的()A.频率不变,振幅不变B.频率不变,振幅改变C.频率改变,振幅不变D.频率改变,振幅改变B解析:单摆的摆长不变时,单摆振动的周期T=2πlg不变,频率f=1T不变;摆长不变时,摆角越小,振幅越小,选项B正确.5.摆长为l的单摆做简谐运动,若从某时刻开始计时(即取作t=0),当振动至t=3π2lg时,摆球恰具有负向最大速度,则单摆的振动图象是()D解析:t=3π2lg=34T,速度最大时,单摆应在平衡位置,y=0,v方向沿y轴负方向,故D选项正确.核心素养提升(教师备用)学长经验分享[错例分析]——对决定单摆周期和振幅大小的因素不明确若单摆的摆长不变,摆球的质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置时的速度减为原来的12,则单摆振动的()A.频率不变,振幅不变B.频率不变,振幅变小C.频率改变,振幅不变D.频率改变,振幅变小[错解]错解一:单摆的周期由摆长l和重力加速度g决定,所以频率是不变的,而由Ek=12mv2,质量变为原来的4倍,速度变为原来的12,结果动能不变;既然动能不变,由机械能守恒知,势能也不变.所以振幅也不变,选A.错解二:认为速度减为原来的12,即运动得慢了,所以频率要变;而振幅与质量、速度无关,所以振幅不变,选C.错解三:认为频率要改变,理由同错解二;由机械能守恒知,动能不变,重力势能Ep=mgh就不变,m变为原来的4倍,h一定变小了,所以振幅要改变,选D.[正解]由单摆的周期公式T=2πlg可知,单摆摆长不变,则周期不变,频率不变;由Ek=12mv2,摆球经过平衡位置时的动能不变,由于振动过程中机械能守恒,mgh=12mv2;据此式可知,速度变小,高度减小,所以偏离平衡位置的最大距离变小,即振幅减小,所以A,C,D错误,B正确.答案:B[注意]决定单摆振动频率的因素应以f=1T=12πgl为依据,而不能以速度判断振动的快慢.振幅应以12mv2=Ek=Ep=mgh为依据.