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3简谐运动的回复力和能量[学习目标]1.理解简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律.2.掌握简谐运动中回复力的特点.3.对水平弹簧振子,能定性的说明弹性势能与动能的转化过程.课前预习感悟新知教材探究知识点一简谐运动的回复力[问题导学]如图为弹簧振子的模型,请分析振子在运动过程中所受的合力有什么特点?合力产生了什么效果?答案:物体所受的合力总是指向平衡位置,它的作用效果总是把物体拉回到平衡位置.[知识梳理]1.命名:回复力是根据力的(选填“效果”或“性质”)命名的.2.效果:把物体拉回到位置.3.方向:总是与位移x的方向相反,即总是指向.4.表达式:F=,该式表明做简谐运动的物体的回复力与位移的关系,“-”表明回复力与位移的方向始终.5.简谐运动的动力学定义:如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成,并且总是指向,质点的运动就是简谐运动.效果平衡平衡位置-kx相反正比平衡位置知识点二简谐运动的能量[问题导学]如图所示为水平弹簧振子,振子在A,B之间往复运动.(1)弹性势能最大的位置是,动能最大的位置是.(均选填“A”“O”或“B”)答案:(1)A,BO(2)振子从A到B的运动过程中振子的动能如何变化?弹簧弹性势能如何变化?总机械能是否变化?(3)如果把振子振动的振幅增大,振子回到平衡位置的动能是否增大?振动系统的机械能是否增大?(4)实际的振动系统,振动系统的机械能是否损失?理想化的弹簧振动系统,振动系统的机械能是否损失?答案:(2)从A→O的过程中,动能增大,势能减小;从O→B,动能减小,势能增大;在平衡位置O,动能最大,势能为零;在最大位移处,动能为零,势能最大.总机械能保持不变.(3)振子回到O点的动能增大,系统的机械能增大.(4)实际的振动系统,振动系统的机械能逐渐减少;理想化的弹簧振动系统,振动系统的机械能不变.[知识梳理]1.简谐运动的能量:指振动系统的机械能.振动过程就是和相互转化的过程.(1)在最大位移处,最大,最小为零.(2)在平衡位置处,最大,最小为零.2.决定能量大小的因素(1)振动系统的机械能跟振幅有关,振幅越大,机械能越大,振动越强.(2)在简谐运动中,振动系统的机械能(选填“守恒”或“减小”),所以简谐运动是等幅振动,是一种理想化模型.动能势能势能动能动能势能守恒思考判断1.回复力是一个性质力,受力分析时不能漏掉.()2.回复力的方向总是与位移的方向相反.()3.回复力的方向总是与速度的方向相反.()4.水平弹簧振子运动到平衡位置时,回复力为零,因此能量一定为零.()5.回复力的大小与速度大小无关,速度增大时,回复力可能增大,也可能减小.()6.在竖直方向振动的弹簧振子,速度相同时,弹簧的弹性势能相同.()×√××××要点一对回复力的理解课堂探究突破要点1.回复力❶的来源(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力,同向心力一样是按照力的作用效果来命名的.(2)回复力可以由某一个力提供,如水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力;也可能是几个力的合力,如竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力;还可能是某一力的分力.2.关于k值❷:公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定.3.加速度的特点:根据牛顿第二定律得a=Fm=-kmx,表明弹簧振子做简谐运动时,振子的加速度大小与位移大小成正比,加速度方向与位移方向相反.4.回复力的规律:因x=Asin(ωt+),故回复力F=-kx=-kAsin(ωt+),可见回复力随时间按正弦规律变化.状元心得❷k的单位:式中“k”虽然是系数,但有单位,其单位是由F和x的单位决定的,即为N/m.❶回复力F=-kx和加速度a=-kmx是简谐运动的动力学特征和运动学特征,常用两式来证明某个振动是否为简谐运动.[例1](多选)关于简谐运动,以下说法中正确的是()A.回复力总指向平衡位置B.加速度、速度方向永远一致C.在平衡位置加速度、速度均达到最大值D.在平衡位置速度达到最大值,而加速度为零AD解析:回复力是把物体拉回到平衡位置的力,A正确;加速度方向始终指向平衡位置,速度方向可能指向平衡位置,也可能背向平衡位置,B错误;平衡位置位移为零,据a=-kxm知加速度为零,势能最小,动能最大,速度最大,C错误,D正确.[针对训练1](2019·陕西西安中学高二期中)如图所示,质量为m1的物体A放置在质量为m2的物体B上,B与弹簧相连,它们一起在光滑水平面上做简谐运动,振动过程中A,B之间无相对运动,设弹簧劲度系数为k,当物体离开平衡位置的位移为x时,A受到的回复力的大小等于()DA.0B.kxC.12mmkxD.121mmmkx解析:以整体为研究对象,根据牛顿第二定律有kx=(m1+m2)a,得a=21kxmm.以A为研究对象,使其产生加速度的力即为回复力(B对A的静摩擦力)F,由牛顿第二定律可得F=m1a=121mmmkx.要点二简谐运动中各个物理量的变化规律如图,一水平弹簧振子在M,N之间做简谐运动,下表给出了某些阶段和位置各物理量的变化情况.位移x回复力F加速度a速度v物体位置方向大小方向大小方向大小方向大小势能Ep动能Ek平衡位置O零零零vm零Ekm最大位移处M指向MA指向OkA指向OkAm零Epm零O→M指向M零→A指向O零→kA指向O零→kAm指向Mvm→零零→EpmEkm→零M→O指向MA→零指向OkA→零指向OkAm→零指向O零→vmEpm→零零→Ekm[例2]如图是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象(xt图象),由图可推断,振动系统()A.在t1和t2时刻具有相等的动能和相同的动量B.在t3和t4时刻具有相等的势能和相同的动量C.在t4和t6时刻具有相同的位移和速度D.在t1和t6时刻具有相同的速度和加速度B解析:t1和t2时刻振子位移不同、速度不相等,所以动能和动量也不相等,A错误;t3和t4时刻振子位移大小相等、方向相反,速度相同,所以系统的势能相等,动量也相同,B正确;t4和t6时刻位移均为负且相等,速度大小相等、方向相反,C错误;t1和t6时刻位移大小相等、方向相反,速度相同,而加速度则大小相等、方向相反,D错误.规律方法有关简谐运动的两点提醒(1)简谐运动中的最大位移处,F,a,Ep最大,Ek=0;在平衡位置,F=0,a=0,x=0,Ep=0,而Ek最大.(2)对竖直弹簧振子来说,振动能量包含动能、弹性势能和重力势能.ABD[针对训练2](多选)弹簧振子做简谐运动,下列说法中正确的是()A.弹簧振子在平衡位置处,动能最大,势能最小B.弹簧振子在最大位移处,势能最大,动能最小C.弹簧振子在向平衡位置振动时,由于弹簧振子的振幅减小,故总的机械能减小D.在任意时刻,动能在势能之和保持不变解析:弹簧振子在平衡位置两侧往复振动,到平衡位置处速度达到最大,动能最大,势能最小,A正确;在最大位移处速度为零,动能为零,此时弹簧的形变量最大,势能最大,B正确;在任意时刻只有弹簧的弹力做功,所以机械能守恒,D正确;振幅的大小与振子的位置无关,C错误.要点三简谐运动的三大特征1.瞬时性:做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置,对应不同的位移,由F=-kx可知回复力不同.由牛顿第二定律得a=-kmx,可知加速度a也不相同❶,也就是说a,F,x具有瞬时对应性.2.对称性(1)物体通过关于平衡位置对称的两点时,加速度(回复力)大小相等,速度大小相等,动能相等,势能相等.(2)对称性还表现在时间的相等上,如从某点到最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等.质点从某点向平衡位置运动时,到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等.3.周期性:简谐运动是一种往复的周期性运动,按其周期性可做如下判断:(1)若t2-t1=nT,n=0,1,2,…,则t1,t2两时刻振动物体在同一位置❷,运动情况完全相同.(2)若t2-t1=nT+2T,n=0,1,2,…,则t1,t2两时刻描述运动的物理量(x,F,a,v)大小均相等、方向相反(或均为零).状元心得❶由于简谐运动是一种变加速运动,所以匀变速直线运动的规律不能使用.❷做简谐运动的物体从某一位置出发,经过时间Δt又回到了初位置,则Δt不一定是nT.[例3](多选)一弹簧振子沿x轴振动,平衡位置在坐标原点.t=0时刻振子的位移x=-0.1m;t=43s时刻x=0.1m;t=4s时刻x=0.1m.该振子的振幅和周期可能为()A.0.1m,83sB.0.1m,8sC.0.2m,83sD.0.2m,8sACD解析:若振子的振幅为0.1m,43s=(n+12)T,则周期最大值为83s,选项A正确,B错误;若振子的振幅为0.2m,由简谐运动的对称性可知,当振子由x=-0.1m处运动到负向最大位移处再反向运动到x=0.1m处,再经n个周期时所用时间为43s,则(12+n)T=43s,所以周期的最大值为83s,且t=4s时刻x=0.1m,故选项C正确;若振子的振幅为0.2m,当振子由x=-0.1m经平衡位置运动到x=0.1m处,再经n个周期时所用时间为43s,则(16+n)T=43s,所以周期的最大值为8s,且t=4s时,x=0.1m,故选项D正确.[针对训练3](2019·河北石家庄检测)一个振子在平衡位置O点附近做简谐运动,它离开O点2.5s,第一次到达P点,又经过2s后,第二次经过P点,那么再经过多长时间,它第三次到达P点?解析:振子的运动有两种可能性,第一种,振子由O点直接向P运动,如图(甲)所示,由题意知P→M(最大位移处)所用时间为1s,所以14T=(1+2.5)s,即周期T=14s;第三次到P的时间t=T-2s=12s.第二种,振子先到N再向右到P,如图(乙)所示,根据运动的对称性,设O点左侧关于P点对称点为P′(未画出),则从P′到N再到P′用时2s,即振子从O→P′,P′→O→P共用时0.5s,则O→P的时间为0.53s,所以振子第三次到P点的时间t=2.5s+0.53s=2.67s.答案:12s或2.67s[针对训练4]如图所示是物体做简谐运动的振动图象.请根据图象回答下列问题:(1)在图中t1时刻和t2时刻,物体的位移各是多少?(2)这个物体的振幅是多大?(3)这个振动的周期是多少?频率是多大?解析:(1)从图中直接读出t1时刻的位移为-3cm;t2时刻的位移为2cm;(2)振幅指振动物体偏离平衡位置的最大位移.从图中读出位移最大值为5cm,因此振幅为5cm;(3)振动是一种周期性往复运动,图中a和b表示物体完成了一次全振动又回到原来的状态,经历的时间即一个周期.可见,这个振动的周期为2s,频率为0.5Hz;答案:(1)-3cm2cm(2)5cm(3)2s0.5Hz(4)判断t1,t2时刻物体的运动方向.解析:(4)由图象可以看出,t1时刻的下一时刻点的位移变大且远离平衡位置指向负方向,所以可以判断t1时刻物体的运动方向为沿着负方向远离平衡位置.同理可以判断t2时刻物体的运动方向为沿着正方向远离平衡位置.答案:(4)t1时刻沿负方向远离平衡位置t2时刻沿正方向远离平衡位置随堂演练检测效果1.在水平方向上做简谐运动的弹簧振子如图所示,O为平衡位置,振子在A,B之间振动,振动过程中振子所受的力有()A.重力、支持力和弹簧的弹力B.重力、支持力、弹簧弹力和回复力C.重力、支持力和回复力D.重力、支持力、摩擦力和回复力A解析:弹簧振子是理想化模型,振子受重力、支持力和弹簧的弹力,不计摩擦力.其中重力和支持力是一对平衡力,弹簧的弹力提供做简谐运动的回复力,故A选项正确.2.(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图象,下列说法正确的是()A.在第1s内,质点速度逐渐增大B.在第2s内,质点速度逐渐增大C.在第3s内,动能转化为势能D.在第4s内,动能转化为势能BC解析:质点在第1s内,由平衡位置向正向最大位移处运动,做减速运动,所以选项A错误;在第2s内,质点由正向最大位移处向平衡位置运动,做加速运动,所以选项B正确;在第3