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2简谐运动的描述[学习目标]1.知道什么是振幅、周期、频率和相位,知道全振动的含义.2.掌握周期和频率的关系.3.理解简谐运动的表达式,知道其中各物理量的意义.课前预习感悟新知教材探究知识点一描述简谐运动的物理量[问题导学]如图所示为理想弹簧振子,O为它的平衡位置,O,A间的距离为2cm,将小球由A点静止释放,它将在A,B之间运动,则O,B间距离是多少?设小球从A点第一次回到A点用时2s,那么小球从B点第一次回到B点用时多少?答案:2cm2s[知识梳理]1.振幅(A)(1)定义:振动物体离开平衡位置的.(2)振幅的倍表示的是做振动的物体运动范围的大小.2.全振动(1)振动过程:如图所示,从O点开始,一次全振动的完整过程为O→A→O→A′→O;从A点开始,一次全振动的完整过程为A→O→A′→O→A.(2)弹簧振子完成一次全振动的时间总是的.最大距离两相同3.周期(T)和频率(f)全振动周期频率定义做简谐运动的物体完成一次所需要的时间单位时间内完成的次数单位(s)(Hz)物理含义表示物体的物理量关系式T=.全振动秒赫兹振动快慢1f知识点二简谐运动的表达式[知识梳理]简谐运动的一般表达式为x=.式中(1)x表示振动物体相对于的位移.(2)A表示简谐运动的.(3)ω是一个与频率成正比的量,叫做简谐运动的“圆频率”,表示简谐运动的快慢,ω==.(4)代表简谐运动的,表示t=0时的,叫做,又叫.Asin(ωt+)平衡位置振幅2πT2πfωt+相位相位初相位初相思考判断1.振幅就是指振子的位移.()2.做简谐运动的物体,振幅增加,其周期必然增加.()3.振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程.()4.振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍.()6.做简谐运动的物体,其位移随时间做周期性变化.()×××√5.简谐运动的表达式x=Asin(ωt+)中,ω表示振动的快慢,ω越大,振动的周期越小.()√√要点一对几个振动特征量的理解课堂探究突破要点1.对全振动的理解(1)全振动的定义:振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程,叫做一次全振动.(2)全振动的四个特征①物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同.②时间特征:历时一个周期.③路程特征:振幅的4倍.④相位特征:增加2π.2.简谐运动中振幅和几个物理量的关系(1)振幅与振动系统的能量:对一个确定的振动系统来说,系统能量仅由振幅决定.振幅越大,振动系统的能量越大.(2)振幅与位移:振动中的位移是矢量,振幅是标量.在数值上,振幅与振动物体的最大位移相等,但在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化.(3)振幅与路程❶:振动中的路程是标量,是随时间不断增大的.其中常用的定量关系是:一个周期内的路程为4倍振幅,半个周期内的路程为2倍振幅.(4)振幅与周期:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关.状元心得2)计算路程的方法是:先判断所求时间内有几个周期,再依据振幅与路程的关系求路程.❶1)振动物体在4T内通过的路程可能等于一倍振幅,还可能大于或小于一倍振幅,只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时,4T内通过的路程才等于振幅.[例1](多选)弹簧振子在AOB之间做简谐运动,如图所示,O为平衡位置,测得AB间距为8cm,完成30次全振动所用时间为60s.则()A.振动周期是2s,振幅是8cmB.振动频率是2HzC.振子完成一次全振动通过的路程是16cmD.振子过O点时计时,3s内通过的路程为24cmCD解析:振幅是离开平衡位置的最大距离,所以振幅为4cm,故A错误;完成30次全振动所用时间为60s,则周期为2s,频率为12Hz,故B错误;振子完成一次全振动通过的路程是4倍振幅,即16cm,故C正确;振子过O点时计时,3s内通过的路程为s=3s2s×4×4cm=24cm,故D正确.[针对训练1](多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图象,下列说法正确的是()A.振动周期是2×10-2sB.第2个10-2s内物体的位移变化是-10cmC.物体的振动频率为25HzD.物体的振幅是10cmBCD解析:振动周期是完成一次全振动所用的时间,所以周期是4×10-2s.又f=1T,所以f=25Hz,则A项错误,C项正确;物体离开平衡位置的最大距离是物体的振幅,所以振幅A=10cm,则D项正确;第2个10-2s的初位置是10cm,末位置是0,Δx=-10cm,则B项正确.要点二简谐运动的表达式1.对表达式x=Asin(ωt+)的理解(1)由于ω=2πT=2πf,所以表达式可写为x=Asin(2πTt+)或x=Asin(2πft+).(2)相位ωt+表示质点在t时刻所处的一个状态.(3)若两个简谐运动的表达式分别为x1=A1sin(ωt+1),x2=A2sin(ωt+2),则相位差为Δ=2-1.当Δ=0时,两振动质点振动步调一致.当Δ=π时,两振动质点振动步调完全相反.2.简谐运动两种描述方法的比较(1)简谐运动图象即x-t图象是表示质点振动情况的一种手段,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律.(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的.我们能够根据振动方程作出振动图象,或根据振动图象读出振幅、周期、初相,进而写出位移的函数表达式.(2)x=Asin(ωt+)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况.[例2]某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=10sin(π4t)cm,则下列关于质点运动的说法中正确的是()A.质点做简谐运动的振幅为5cmB.质点做简谐运动的周期为4sC.在t=4s时质点的速度最大D.在t=4s时质点的位移最大C解析:根据简谐运动的表达式为x=Asin(ωt+),知振幅为10cm,周期T=2π=2ππ4s=8s,故A,B错误;在t=4s时,位移x=0,平衡位置速度最大,故C正确,D错误.[针对训练2]如图所示是弹簧振子的振动图象,由此图象可得,该弹簧振子做简谐运动的表达式是()A.x=2sin(2.5πt+π2)cmB.x=2sin(2.5πt-π2)cmC.x=2sin(2.5πt-π2)cmD.x=2sin(2.5πt)cmD解析:由图象可以看出振子是从平衡位置开始计时的,振幅为2cm,周期为0.8s,则ω=2πT=2.5πrad/s,故振子的振动方程为x=2sin(2.5πt)cm,故D正确.要点三简谐运动的周期性和对称性1.时间的对称(1)物体来回通过相同的两点间的时间相等,即tDB=tBD.(2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等,图中tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tOC=tCO.2.速度的对称(1)物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等,方向相反.(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反.3.位移的对称(1)物体经过同一点(如C点)时,位移相等.(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时,位移大小相等,方向相反.[例3]一水平弹簧振子做简谐运动,周期为T,则()A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反,则Δt一定等于2T的整数倍C.若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的速度一定相等D.若Δt=2T,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等C解析:如图所示,图中的a,b,c三点位移大小相等、方向相同,显然Δt不一定等于T的整数倍,故选项A错误;图中的a,d两点的位移大小相等、方向相反,Δt2T,故选项B错误;在相隔一个周期T的两个时刻,振子只能位于同一位置,其位移相同,速度也相等,选项C正确;相隔2T的两个时刻,振子的位移大小相等,方向相反,其位置关于平衡位置对称,弹簧分别处于压缩和拉伸状态,弹簧的长度并不相等,选项D错误.[针对训练3]如图所示,一质点做简谐运动,先后以相同的速度依次通过M,N两点,历时1s,质点通过N点后再经过1s又第2次通过N点,在这2s内质点通过的总路程为12cm.则质点的振动周期和振幅分别为()A.3s,6cmB.4s,6cmC.4s,9cmD.2s,8cmB解析:因质点通过M,N两点速度相同,说明M,N两点关于平衡位置对称,由时间的对称性可知,质点由N到最大位移,与由M到最大位移的时间相等,即t1=0.5s,则2T=tMN+2t1=2s,即T=4s,由过程的对称性可知,质点在这2s内通过的路程恰为2A,即2A=12cm,A=6cm,故B项正确.随堂演练检测效果1.关于简谐运动的周期、频率和振幅,下列说法正确的是()A.振幅是矢量,方向是由平衡位置指向最大位移处B.周期和频率的乘积不一定等于1C.振幅增加,周期必然增加,而频率减小D.做简谐运动的物体,其频率固定,与振幅无关D解析:振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离,是标量,A错误;周期和频率互为倒数,B错误;做简谐运动的物体的频率和周期由振动系统本身决定,C错误,D正确.2.如图所示,一质点在A,B间做简谐运动,从A第一次运动到B历时2s,路程为12cm,则质点的振动周期和振幅分别为()A.4s,6cmB.6s,6cmC.6s,9cmD.4s,8cmA解析:质点在A,B间做简谐运动,从A第一次运动到B历时2s,路程为12cm,故周期为T=2t=2×2s=4s,振幅为A=2s=12cm2=6cm,故A项正确.3.(多选)有两个简谐运动,其表达式分别是x1=4sin(100πt+π3)cm,x2=5sin(100πt+π6)cm,下列说法正确的是()A.它们的振幅相同B.它们的周期相同C.它们的相位差恒定D.它们的振动步调一致BC解析:它们的振幅分别是4cm,5cm,故A错误;ω都是100πrad/s,所以周期(T=2π)都是0.02s,B正确;由Δ=(100πt+π3)-(100πt+π6)=π6得相位差恒定,C正确;Δ≠0,即振动步调不一致,D错误.4.如图所示是两人合作模拟振动曲线的记录装置.先在白纸的中央画一条平行于纸的长边的直线OO1作为图象的横坐标轴.一个人用手使铅笔尖在白纸上沿垂直于OO1的方向振动,另一个人沿OO1的方向匀速拖动白纸,纸上就画出了一条描述笔尖振动情况的x-t图象.下列说法中正确的是()A.白纸上OO1轴上的坐标代表速度B.白纸上与OO1垂直的坐标代表振幅C.匀速拖动白纸是为了用相等的距离表示相等的时间D.拖动白纸的速度增大,可使笔尖振动周期变长C解析:笔尖振动周期一定,根据白纸上记录的完整振动图象的个数可确定出时间长短,所以白纸上OO1轴上的坐标代表时间,故A错误;白纸上与OO1垂直的坐标是变化的,代表了笔尖的位移,而不是振幅,故B错误;由v=xt可知,匀速拖动白纸,是为了用相等的距离表示相等的时间,故C正确;笔尖振动周期与拖动白纸的速度无关,拖动白纸的速度增大,笔尖振动周期不改变,故D错误.5.(多选)简谐运动的振动图线可用下述方法画出:如图(甲)所示,在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P,让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动,笔P在纸带上画出的就是小球的振动图象.取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向,纸带运动的距离代表时间,得到的振动图线如图(乙)所示.则下列说法中正确的是()A.弹簧振子的周期为4sB.弹簧振子的振幅为10cmC.t=17s时振子相对平衡位置的位移是10cmD.若纸带运动的速度为2cm/s,振动图线上1s和3s两时刻对应纸带上两点间的距离是4cmABD解析:周期是振子完成一次全振动的时间,由图知,弹簧振子的周期为T=4s,故A正确;振幅是振子离开平衡位置的最大距离,由图知,弹簧振子的振幅为10cm,故B正确;振子的周期为4s,由周期性知,t=17s时振子相对平衡位置的位移与t=1s时振子相对平衡位置的位移相同,为0,故C错误;若纸带运动的速度为2cm/s,振动图