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知识点一测量高度时常用的几个角坡角坡面与________的夹角坡比坡面的________与水平宽度之比视角观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的角水平面垂直高度仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线____时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线____时与水平线的夹角上方下方状元随笔仰角和俯角可简记为“上仰下俯”，它们都是锐角，而视角可以是0°～180°的角．知识点二测量高度的类型及解法当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：类型简图计算方法底部可达测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝____________．a·tanC点B与C，D共线测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出____或____，再解____________得AB的值．底部不可达点B与C，D不共线测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数．在△BCD中由正弦定理求得____，再解直角三角形得AB的值.ACAD直角三角形BC状元随笔高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东偏北45°的方向就是东北方向．()√解析：由方向角的定义可知．(2)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．()√解析：由仰角与俯角的定义可知．(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北44°方向．()×解析：点Q在点P的南偏西44°.(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是0，π2.()×解析：因为方向角的范围为0°～90°，而方位角的范围为0°～360°.2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：由仰角和俯角的定义可知α＝β.答案：B3．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cosα等于()A.35B.45C.34D.43解析：由题意，得tanα＝34，∴sinαcosα＝34，∴sin2αcos2α＝916，即1－cos2αcos2α＝916，∵α为锐角，∴cosα＝45.答案：B类型一测量高度问题例1(1)空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，A，B两点间的距离为266m，这两测点均离地1m，则测量时气球离地________m.【解析】(1)如图所示，D为气球C在平面ABD上的正投影．设CD＝x，依题意知：∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，则AD＝x，BD＝3x，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即2662＝x2＋(3x)2－2x·(3x)·cos150°＝7x2，解得x＝26677，故测量时气球离地26677＋1m.【答案】(1)26677＋1(2)在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.①求BC的长．②若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中3≈1.732)．(2)①在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，由正弦定理得BCsin45°＝4sin30°，解得BC＝42(米)②在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝42，所以DC＝42sin75°，因为sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝6＋24，则DC＝2＋23，所以CE＝3.70＋23≈3.70＋3.464≈7.16(米)．【答案】(2)①BC的长为42米②这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16米．状元随笔(1)为了表示出题设中的仰角和方位角，必须先假设气球在地面上的投影，画出图形，将条件对应到图形中，才能逐步解三角形求得结果．(2)①△ABC可解，由正弦定理可以求BC.②求解时别忘了加上小明的身高.方法归纳(1)测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在很多情况下，仍需结合正、余弦定理解决．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．跟踪训练1如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，(1)若测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.(2)若测量数据变为∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，且在C点测得塔顶A的仰角为60°，如何求塔高AB?解析：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝3h，在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(3h)2－2·h·3h·32，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)．即塔高AB＝200米．(2)在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，设AB＝h，则BC＝33h，在△BCD中，∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，故∠CBD＝135°，由正弦定理可得，CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，即3022＝33h12，所以h＝156，故塔高AB为156.类型二有关角度问题例2(1)已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°【解析】(1)由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°方向．【答案】(1)B(2)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.(2)由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.在△ABD中，根据正弦定理可得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，即50sin30°＝BDsin15°，所以BD＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝25(6－2)．在△BCD中，由正弦定理得CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，即25sin45°＝256－2sin∠BCD，解得sin∠BCD＝3－1.所以cosθ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝3－1.【答案】(2)3－1状元随笔(1)是知角求角问题，先画出图形，标出A、B相对C的位置，利用相关角的关系即可求得．(2)由于θ＝∠BCD－90°，故只要求sin∠BCD，为此，可先在△ABD中求BD，然后在△BCD中求sin∠BCD.方法归纳此类问题的难点在于确定已知角和所求角之间的关系，解决问题的关键是结合图形，正确理解方向角、方位角、仰角、俯角等，同时把相关条件转化为三角形中的内角和边长，然后利用正、余弦定理及两角和与差的三角函数公式求解．跟踪训练2(1)江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：(1)设两条船所在位置分别为A，B两点，炮台底部所在位置为C点，炮台顶部为D点．在△ABC中，由题意可知，AC＝30tan30°＝303(m)，BC＝30tan45°＝30(m)，∠ACB＝30°，在△ABC中，AB2＝(303)2＋302－2×303×30×cos30°＝900，所以AB＝30m.答案：(1)30(2)如图从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，求河流的宽度BC.(2)如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝603(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－3)(m)．所以BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．答案：(2)河流的宽度BC为120(3－1)m.类型三航行中的有关问题例3在海岸A处，发现北偏东45°，距离A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【解析】假设在D处相遇，设缉私船用th在D处追上走私船，如图．则有CD＝103t，BD＝10t.在△ABC中，因为AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，所以由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6.所以BC＝6.在△ABC中，由正弦定理知BCsin120°＝ACsin∠ABC，所以sin∠ABC＝2×326＝22，所以∠ABC＝45°.所以B在C的正东方向．所以∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12.所以∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．若要最快追上走私船，则两船所用时间相等．方法归纳解决追及问题的步骤(1)把实际问题转化为数学问题．(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，借助正弦定理或余弦定理解决问题．(3)把数学问题还原到实际问题中去．跟踪训练3如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解析：如题干图所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos120°＝2800，故BC＝207(海里)．由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，所以sin∠ACB＝217，由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.易知θ＝∠ACB＋30°，故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114.